102 ACADEMIE DES SCIENCES. 



uniforme. Dans cet ordre d'idées, M. Fejér m'a proposé la question sui- 

 vante : Existe-t-il une transformation biunivoque et continue de la variable, 

 changeant la fonction dans une autre de même pAriode 2t de sorte que celte 

 nouvelle fonction admette une série deFourier uniformément convergente? 

 J'ai réussi à donner à cette question une réponse presque affirmative. Je 

 vais en effet démontrer le théorème suivant : 



Soit f{t) une fonction continue de période iiz. Il existe alors une transfor- 

 mation biunivoque et continue t = ix{r), r = v(t) avec «.(o) = v(o) = o, 

 jjl(2 7:) = v(2u) =271 telle que la série de Foi trier de J \\j.(^r )\ converge uni- 

 formément dans chaque intervalle (po, 2ti — p„), le nombre p„> o étant aussi 

 petit qu'on veut. 



Tout d'abord, je construis une courbe simple fermée (au sens de Jordan) 

 w=F(<), (^^0(0 comme il suit : pour oSf^ir soit F(/)=/(2f), 

 G(/) =^ l. On obtient un arc ouvert qu'on peut compléter par une courbe 

 simple fermée, en posant par exemple 



V(t)=zV{Ti)-^ c{t — 11), i\(t)=zn pour 7rî<5 ^7r; 



F(<) — F(|7rj, Q{t)rrz:>Ti — -U pour|7t/^,:^/; 



enfin, 



5 



I"(i) — 1^(0) + f(27î — ;), (.".(/) = o pour ^7r5;^ 971. 



le nombre c> o étant choisi assez grand pour que F( t,ti jsoit plus grand que 



max.y(/). Oc, la région entourée par la coui he que nous venons de définir, 

 la courbe inclue, peut être représentée d'une manière l)iunivoque et con- 

 tinue sur le domaine cii'iulaii-e |;|5i et cela de telle sorte que la représen- 

 tation soit conforme en tout puint intérieur ('). La fonction cp(s) effectuant 

 cette représentation est lioloinorphe pour | s | <C i et continue pour |5|5i. 

 D'après un théorème de M. F.'jér, la série de puissances 



cp ( ; ) =: c„ -t- f, - -I- C, C- 4- ... 



est uniformément convergente, même sur le ceicli- 1 s | = i (*). 

 Posons 



(p((?''^)r=:(p,(&) 4-/<p,(&). 



(') Voir Caraiiièddoii Y, />/(7< '/<?'/(. 4iin/.,l. I^XXilI, ii)i3,p.3o5. 

 (-) Voir l'iijÈii, Comptes rendue, l. l.'Ki, \()i'i, \<. f\i>. 



