SÉANCE DU 12 JANVIER I9l4- to3 



La correspondance des paramètres ^ et 2: est exprimée par / =m(&). En 

 choisissant convenablement les axes des coordonnées dans le plandu cercle, 

 la fonction /n(&)sera toujours croissante, aura la période additive 2Tr; enfin, 

 on aura aussi m(o) = G. 



La représentation des deux figures donne l'identité F(m(â)]^ ç, (&) et 

 cette fonction sera représentée par sa série de Fourier, qui converge unifor- 

 mément (/oc. cit., 2). 



Soit maintenant /«(STo) = -û, o <;.%„■< 2-. Pour les valeurs o^&^&o, 

 on a (p,(^2r)^Ffw(2i)j i^/[2/?i(2f)|. Par conséquent, la fonction 

 y [ 2 m ( 2f ) ] =^ '|i ( 2r ) re m p 1 i t , uni formémen l pour les valeurs o <; y < Sr < &„ — y , 

 la condition suivante ( ' ) : 



Etant donné un nombre W(,>o, d'ailleurs quelconque, il existe deux 

 nombres £„ el o„ tels qu'on a 



/ \']^{l:i -■- a) -A-'U'^ — a) — vU'^)\%\n'^ -do'.\<',\,, 



pour toutes les valeurs o •< < &„• 

 Posons enfin 



■IT. 



el 7.111 { ^-^r\^ [j.[r). 



Pour les valeurs^' Y^rSaT: — — ^y, la fonction /| [x(r)] remplit uniformé- 



ment la condition citée au moment. Cette condition est suffisante pour que 

 la série de Fourier soit uniformément convergente (loc. cit., 3). Par suite, 



en posant y = l-îi^, le théorème est démontré. 



D'ailleurs, la série de Fourier dey[[jL(/')] converge aussi, d'après une 

 remar<[ue que je dois à M. F. Uiesz, pour r= o. L'intégrale 



/ ['^(3!) + '|(m«) — 2d>(o)| -siii^ • -f/z 



est égale, en effet, à la somme 



/ foila) — o,i'o)] fin ---r/sr -J- / | es, (3r„4- s:) — 'j,(S„)] sin ^.- c/j<. 



et ces deux intégrales tendent vers zéro avec 0. 



(') Voir par exemple Gh. de i.a Vai.i.ée Poussin, ('ours d'Analyse, l. H. 1912, p. i:^5. 



