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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques mesures dans r espace fonctionne/. 

 Note de MM. Pu. Frank el G. Pick, présentée par M. Emile Picard. 



Dans ce qui suit on considère des fonctions réelles d'une variable réelle, 

 qui varie dans l'intervalle de o à i. Les fonctions supposées positives et 

 convexes (plus exactement non concaves), c'est-à-dire cc,<ia;.2<^ x^ étant 

 trois valeurs entre o et i,etç(a?) une de ces fonctions, on doit toujours 

 avoir 



I .r, Cf;(d?,) 

 I x, cp (Xi) 



1 ^3 !» ( X3) 



Les fonctions sont d'ailleurs supposées normées, c'est-à-dire qu'on a 



/ ^^ dœ ^ I . 



Spécialement, il s'agira de telles fonctions monotones, soit croissantes, 

 soit décroissantes, ou de fonctions symétriques relativement à la 



droite a: = - • 



La représentation de toutes ces fonctions comme points d'un espace 

 fonctionnel ( ' ) est fort utile. Dans un tel espace, les fonctions normées se 

 trouvent sur la sphère du rayon i autour de l'origine. C'est la distance 



sphèrique des deux fonctions cp, '\ (savoir le plus petit arc positif S satis- 

 faisant à l'équation 



cos Sr = I ^'^dx \ 



à laquelle s'appliquent les propositions suivantes : 



I. La distance sphèrique entre une fonction convexe noraiée quelconque 

 el la fonction «p = r est tout au plus égale à ^• 



T a. La distance sphèrique de deux fonctions positives convexes normées 

 quelconques est tout au plus égale à ^> et cette borne n'est atteinte que 

 pour les fonctions cp = .r v/3, >]; = ( i — a;) y/3. 



(') Cf. KowALEWSKi, Comptes rendus, l. loi, 1910. p. i338. 



