SÉANCE DU 12 JANVIER 1914. Io5 



n. La distance sphérique entre une fonction positive convexe croissante 



In — 



(plusexactementnondécrGissante)norméeetlafonction:j = ' est tout 



au plus égale à — 



lia. La distance sphérique de deux fonctions positives convexes crois- 

 santes normées est tout au plus égale à t^j et cette borne n'est atteinte que 



pour les fonctions o = x\j'S, (|/ = i. 



Les propositions II et II a valent aussi pour les fonctions décrois- 

 santes, et d'ailleurs pour les fonctions symétriques. 



Pour démontrer ces propositions, on constatera d'abord les faits sui- 

 vants. Le cosinus de la distance sphérique entre une fonction o quelconque 

 et la fonction 'ji = i est donné par l'aire de la courbe y = '^(x) au-dessus 



du segment - de l'axe des abscisses. La valeur de l'intégrale / xr^dxçi^l 



le moment statique de ladite aire relativement à l'axe des y. Le moment 

 statique de ladite aire relativement à l'axe des .r est égale à 12 à cause de la 

 normalité. 



S'il s'agit, par exemple, de la démonstration de II, on déterminera une 

 fonction auxiliaire y composée de deux pièces reclilignes, dont l'aire soit 

 égale à l'aire de la fonction donnée o, dont le moment statique relati- 

 vement à l'axe des jK soit inférieure ou tout au plus égale au moment de la 

 fonction o; problème qu'on résout facilement en considérant la situation 

 des centres de gravité desdites aires. Alors la distance sphérique entre o 



et '-L -= ^-^ sera tout au plus égale à celle entre-/ et 'j/. Mais on peut 



démontrer, par des considérations élémentaires, que cette dernière distance 

 ne peut surpasser la valeur -• 



On peut faciliter les calculs, qui sont exigés dans les démonstrations 

 dont un exemple vient d'être ébauché ici, en réfléchissant que trois 

 fonctions normées, comme points de l'espace fonctionnel, constituent un 

 triangle sphérique au sens commun du mot, dq^nt les côtés sont les dis- 

 tances sphériqucs (définies plus haut) de ces fonctions, ainsi qu'on peut 

 utiliser toutes les propositions et formules de la trigonométrie sphé- 

 rique. 



Remarquons finalement que les propositions annoncées ne sont que cas 

 spéciaux d'un théorème plus général que nous indiquerons dans une autre 

 occasion. 



C. R.. 191 i, I" Semestre. (T. 15S, iV 2.) l4 



