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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de la fonction '((5) de Riemann. 

 Note(')de MM. H. FîoHRetE. Landau, présentée par M. J. Hadaniard. 



Dans le Tome XXXVII (1914) des Hendiconti del Circolo Matematico di 

 Palermo^ nous déduisons d'un nouveau théorème général sur les séries de 

 Dirichlet le fait suivant : Si %{m) désigne un.caractère (mod. k), le nombre 

 N(T) des zéros de la fonction 



L(,) = yx(i^ 



situés dans le domaine a-> — h 0, i^fST. est, quelque soit S fixe et 



positif, 0(T). Aujourd'hui nous allons, en utilisant des propriétés spé- 

 ciales de L(^), remplacer ce par o. 



Lemme I : Soit o <;/•<; R, A > o. // existe un nombre K = K(r, R, A) 

 ayant la propriété suivante : Toute fonclion F(z) = F(;/ + w), régulière 

 pour \z\'SK et telle que |F(o)|>A, n^a pas, pour |^| = '', plus 



rfe K r r I F(s) - 1 1- du dv zéros. 



Démonstration : Soit /j le nombre des zéros appartenanl au cercle 1^1^'' et /i > o. 

 Alors il existe un nombre K|:=Ki{r, R)>o tel que 





car, Zf) désignant uii des n zéros, 



: d{ 



jj'\¥{z)-^\^dnd,'> JJ |F(^)-.|M«, 



\z\hK |---:,|SR-,- 



J^R — r ^ S 7t ^ li — /■ 



' p'/p \F(:„-i-pe'-f')-i\'d^l2Ti pdp = Ki 



'^D ' ^ti 



Il suffit donc de trouver «^^ «o( ''1 R. ■^) et lV2= K-ii r, H, A ) tels que, pour n ^ «0, 



/i < K, / j \l'{z) — ip^M^f. 



(') Présentée dans la séance du 22 décembre 1913. 



