SÉANCE UU 26 JANVIER I9l4- 221 



Posons, par exemple, 



4' 



On reconnaît aisément que la série second membre converge absolument 

 pour toute valeur de x, pourvu qu'en posant comme d'ordinaire q = e"^", 

 la constante t ait sa partie imaginaire positive. 



D'autre part, on a 



I 4-,(J7-(-7l ) —éi{x). 



(2) ; _i 



les notations étant celles de mes travaux précédents (' ). De même, si l'on 

 pose 



• 7 |2/n-l|l2/j'+3l 



(3) ■h[x) =z 4y ^' (- ly- sin(2// + i).r, 



/i=0 



on trouvera 



(4) di(a;-+-7T)= — J'C'^)' "^(a- + ttt) = — iJ;(a;) + 2/7' ■' e -'■-'■ 0(.<7). 



Inversement, les fonctions entières qui vérifient (2), d'une part, et (4), 

 d'autre part, coïncident respectivement avec '-Pi(t) et •\i(x). 

 On peut encore écrire 



I Tï — i n -t- •■( 



» 3 



<h{.v) = ^^S^q '•(— 1)" V sin fi^.r, 



^ ■' 1 » 3 



les sommes V portant sur les diviseurs, d, de 4 " -f- 3, inférieursk v^4 « -+- 3. 



i n -(-3 



Il convient d'observer que si ces sommes portaient sur tous les diviseurs de 



(') 0,(x)r=29"''' e-^"""; 0(J^)= 2(~')"'^"" 



lil{x)=.^q * e(2m + l)<>j H(a^)=:4-y (— 1)""^ * gr-m+\)ix. 



— 00 — ac 



9, = 0,(o); 5 = 0(0); •fl,= H,(o); H'(o) = v), 5, 9. 



