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4 « -H 3, les seconds membres des formules (5) ne convergeraient plus pour 

 toute valeur de x. 



On pourrait encore introduire les fonctions qu'on obtient en remplaçant x 



par ^ + - dans 'J;, et dans vp; il sera inutile de les désigner par une lettre 



spéciale. Observons aussi que ij/, se déduit de .];, à un facteur constant près, 

 par le changement de q en qe^' ^ c'est-à-dire de t en t + i . 



3. Une importante propriété de la fonction 'K^.) est d'être (au signe 

 près) le terme indépendant de r dans le développement en série de Fourier 

 de Y], OH, (y + a?) H (y) : 0,(,v), regardée comme fonction dej; le déve- 

 loppement complet est le suivant : 



,,, H.(,- + ..,H(,-) 

 0|(j) 





^ s'étendant aux décompositions en facteurs (positifs) 4 " + 3 = </</,, 



4n+3 



avec d<C^d^. Le développement est valable quel que soit x; mais le point y 

 doit rester compris dans une bande limitée par deux droites parallèles, 



symétriques par rapport à l'origine, el dont l'une joint les points — 



et h 71. 



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Cette formule donne lieu à de nombreuses conséquences : 

 Faisons d'abord, dans ij^^ty = -; le premier membre devient — Y);H(a;); 

 au second membre, le coefficient de ©(a?) est — 4') (a?), d'où la relation 



(7) 4/(^)0, (.O++.(j-)<-)(-^')=-0ÎH(.O. 



Par des considérations analogues, si nous introduisons une nouvelle fonc- 

 tion erUière, '^i-^')-! définie par 



" Ô + Oi — 1 



C(.r) = 1 + 4 V ^/2,, V (_ ,) 2 cosa'îj;, 



^ portant sur les décompositions en facteurs 2/? = oo,, avec o << o, et S, o, 



de parités différentes, nous trouverons 



Ç(x + 71) = Ç(j-), ?(■*■ H- Trr) =- K{x) -^liq'K-'^ ïi{x) 



