SÉANCE DU 26 JANVIER 1914. 223 



et 



(8) Ç0 — (|/H=ze-0„ Ç0, + i];,H = ô-f0, 



formules analogues à (7). 



Les valeurs que prennent '|,, ■]>, i pour x ^ - sont : 



:i ,1-1 



? 



J) = 42'/""'(-')"2(-') ' 



,1-1 



les sommes S(— i) " s'étendant aux diviseurs d de 4«4-3 inférieurs 



à v/4 N + 3 ; et 



n = l 



le dernier 2 portant sur les décompositions 2/î = oo, ci-dessus indiquées. 



On reconnaît que i|;,(-j, ^(-), 'Ci-^j sont respectivement les quantités 



rencontrées par Hermite (^Comptes rendus^ t. 35; Journal de Lioiwil/e, 

 1^ série, t. IX, p. i45; Œuvres, t. II, p. 2'|5-246) et qu'il désigne 



par A, B, C. Faisant a;- = - dans (6), (8), (9), on trouve les relations 

 d'Hermite : 



(9) A9,+ Be-r,l, CfA-Bï^,t=9^ GÔ + A-/],= eî. 



2M + Î 



4. Egalons maintenant les coefficients de q ' dans les deux membres 

 de (7), nous arrivons aisément au résultat suivant : 



Décomposons un entier donné, 8M -f- 3, en trois carrés 



(10) 8M + 3 =(a/> + 1)^+ (2/,'+ 1)2+ (•.2/t"+ i)-^ (A-, A-', /c"lo); 



de toutes les façons possibles, en tenant compte de l'ordre des carrés, 

 considérons d'autre part les décompositions 



(ti) SM + 3 = 4/'' + <^f/i (/i=o; f/, f/, > o el (Y< (/,), 



on a la formule, où /(.f ) désigne une fonction paire de x, d'ailleurs 

 quelconque, 



(•2) lf{2h-i-l) = l{-,f^/(d+2h), 



