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les sommes, premier et second membres, s'étendant respectivement aux 

 décompositions (lo) et (i i). 



Pour /"= I, la formule revient à celle qu'Hermite a déduite (^Journal 

 de Crelle, t. 100) de AO, -+- B9 = yjj; le résultat d'Hermile se présente donc 

 ainsi comme un cas particulier d'une relation bien plus générale. D'ailleurs, 

 l'égalité (12) est une de celles que j'ai transformées récemment (Co/?2p/« 

 rendus, 11 décembre 191 3) par l'introduction des réduites principcdes indé- 

 finies de déterminant 8M + 3 (n" 4). 



Les égalités (8) donnent lieu de même à la suivante, où y (>r) est une 

 îonclion paire quelconque, 



(.3) (_,)^i/(^) = 4i(-.)n-o'^'~^/(^)- 



La première somme s'étend aux décompositions 

 (i4) N = «a-H|3^ + -/-^ («,(3,)/|o), 



la seconde aux décompositions 

 4 N = A- -h (/<f, , avec A=o, rf, c/, >o; <•/<(;?,; f/, — d^^i (mocl4); 



N désigne un entier positif quelconque, non carré. 



Pour /■= 1 , on retrouve, sous une forme plus simple, la relation déduite 

 par Hermite (yloc. cit.) de CO, — By], = 0'; enfin le second membre de (i3) 

 se transforme aisément par l'introduction des réduites principales indéfinies 

 de déterminant 4N. 



5. Il faut observer ici que Liouville a donné plusieurs formules du 

 même genre que(i3); mais, dans leurs seconds membres, les diviseurs 

 analogues à r/ ou à r/, jouent le même rôle, tandis que, dans (i3), d est un 

 diviseur de 4N — /- inférieur à son conjugué d ^ et qu'il n'y a pas symétrie 

 par rapport k d e\. d^. 



Par exemple, Liouville indique, d'ailleurs sans démonstration, cette 

 relation \f{x) îonclion paire quelconque] : 



(.5) l[-^)^f{x■) = ^l{-^)9^"f{^d + h), 



la première somme portant sur les décompositions (i4), et la seconde sur 

 les décompositions 



N =/(2-l-f/(2p-(- 1) [h'=o,(ll\,plo). 



N est supposé non carré. 



