SÉANCE DU 26 JANVIER I9l4- 225 



On voit qu'au second membre de (i5), tous les diviseurs d, à conjugué 

 impair, de N — /r jouent le même rôle : ce fait avertit que la démonstra- 

 tion de la formule de Lion ville doit être clierchée, non dans des relations 

 où figureraient '];,'];,,"(, mais dans celles où interviennent les fonctions 

 thêta ordinaires. On la trouve, en effet, en partant du développement 

 trigonométrique classique de 00, 0, (.r) ; 0(a?), chassant le dénomina- 

 teur 0(.r), et égalant les coefficients de (j^ dans les deux membres. 



C'est donc à juste titre qu'en introduisant les quantités numériques A, 

 B, C, Hermite insistait sur ce fait que ce sont seulement des parties de 

 fonclion, voulant dire par là que les diviseurs d'un entier y figurent diffé- 

 remment selon qu'ils sont inférieurs ou supérieurs à la racine carrée de 

 l'entier. 



6. Revenons à l'équation (G) pour y faire v = - — a:; nous trouvons 



oc ., 



(10) ^xTT, — r = 4 7 1 7 sin x; 



'* it + 'i 



chassant @ {x) et égalant dans les deux membres les coefficients de 

 q *, nous obtenons la formule 



où y est une fonction impaire quelconque, et où les X s'étendent aux 

 décompositions 4N + 3 = l\h^ + dd^, avec h = 0, d, d^ > o, eld <Cid,. On en 



conclut cette autre : 



h _ 



1{- i)-i\{- ,yf[2b ^ (a + c)]- /{■2c)\ = o, 



la somme s'élendant aux réduites principales indéfinies (a, A, c) de déter- 

 minant /jN + 3, pour lesquelles a-i-c^o,etù désignant la valeur absolue 

 de 6. 



Si maintenant, dans les deux membres de (<!), on suppose y très petit, et 

 si l'on égale les coefficients des termes en v', on a 



•fl?5Mt,(j;)r:= — .|(.r) 0'(x)-i-20(x) V( _,)",/'"*' I y {di-hd)cosd.r. 



Egalant les coefficients de y 'aux deux membres, nous voyons s'intro- 

 duire, dans le premier, les décompositions d'un entier en sommes de cinq 

 carrés, et nous trouvons la relation 



(.7) lf{2k+l) = 2lid,-^d-^,/,)/(d-^2/,); 



c. R., 1914, I-' Semestre. (T. 158, N° 4.) 29 



