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CORllESPOXDANCE. 



M. J. lÎŒCKEi, adresse des remcrcîments pour la distinction que l'Aca- 

 démie a accordée à ses travaux. 



GÉOMÉrniE INFINITÉSIMALE. — Sur les courbes de Bertrand et les courbes 

 à courbure constante. Note ( ' ) de M. Gambier. 



1 . Les courbes dont la courbure et la torsion sont liées par une relation 

 linéaire comprennent : 



i" les hélices circulaires et la cubique de M. Lyon; 



2° les hélices tracées sur un cylindre quelconque; 



3° les courbes à torsion constante; ' 



4° les courbes à courbure constante et les courbes de Bertrand propre- 

 ment dites. 



Les courbes des deux premières classes peuvent être considérées comme 

 connues. J'ai abordé l'étude de la dernière classe, me bornant aux courbes 

 algébriques ou unicursales. 



. 2. Il est bien clair que tout résultat relatif aux courbes à torsion cons- 

 tante est susceptible d'une généralisation pour les nouvelles courbes. Ces 

 dernières possèdent en outre une propriété qui les'distingue bien nettement 

 des courbes à torsion constante : les cosinus directeurs de la normale prin- 

 cipale s'expriment ralionnellement au moyen des coordonnées du pied de 

 cette normale et la connaissance d'une telle courbe entraîne la connaissance 

 d'une autre, algébrique aussi (ou unicursale), à savoir celle qui admet les 

 mêmes normales principales. 



Soient donc, sur la sphère de rayon 1, la courbe lieu du point a, a', rt"; 

 c; l'arc de cette courbe; b, b', b" les cosinus directeurs de la tangente à cette 

 courbe; c, c , c" le point qui décrit la courbe sphérique supplémentaire. 

 Toute courbe de Bertrand est obtenue par les formules bien connues 



X = p 

 Y = p 

 Z=p 



inti) I a d<7 — cosu / c da 

 sinto l a' du — cosw / c' da 

 sinoj / a" d'3 — cosw / c" d(j 



0, oj désignant deux constantes. 



C) Présentée dans la séance du 19 janvier 1914. 



