SÉANCE DU 26 JANVIER I9l4- 237 



Quand la courbe de Bertrand est unicursale, deux seules hypothèses sont 

 à considérer : 



a. Ou bien la courbe «, a', a" est elle-même unicursale et toutes les 



quantités rt,a', a", b, h', h", c, c , c", — sont exprimées rationnellement au 

 moyen du paramètre t. 



(3. Ou bien «, a', a", c, c' , c", -j- sont égales au produit de fractions 



rationnelles en t par une même racine carrée de fraction rationnelle en /; 

 h, b', h" sont encore rationnelles en /. 



De toute façon, la courbe a, a', a" est courbe de direction et les inté- 

 grales X, \, Z portent sur des expressions rationnelles en /, bien qu'en 

 apparence, il y entre un radical. Il suffit donc d'exprimer que les singula- 

 rités logarithmiques, introduites par les points à l'infini de la courbe a, a ,n" 

 disparaissent. 



On voit aisément comment on doit généraliser pour les courbes simple- 

 ment algébriques. 



Les points à l'infini s'étudient exactement comme dans le cas des courbes 

 à torsion constante. 



,3. La méthode que j'indique m'a permis d'obtenir de nombreux types 

 de courbes unicursales, au moins dans la première hypothèse du numéro 

 précédent. 



J'ai retrouvé ainsi une famille de courbes unicursales réelles, à courbure 

 constante, indiquées par M. Goursat, caractérisées par ce fait géométrique, 

 que l'indicatrice des normales principales se réduit sur la sphère de rayon l 

 à un petit cercle, section de celte sphère par un plan mené à une distance 

 commensurable du centre. J'ai obtenu ce résultat curieux que les courbes 

 de Bertrand unicursales fournies par la première hypothèse sont toutes 

 imaginaires, au moins dans tous les cas où j'ai pu pousser la discussion 

 jusqu'au bout; la question se pose de savoir si ce résultat est général. J'ai 

 obtenu de nombreux types de courbes à courbure constante réelles. Par 

 exemple, si le cône qui a pour sommet l'origine et pour directrice la courbe 

 (a, a', a") n'a, en commun avec le cône isotrope de même sommet, que deux 

 génératrices dont les trois nombres jd, y, i sonl q = p,i = 1 {hn + p) (voir 

 ma Note du 12 janvier 1914)5 01 obtient des courbes unicursales à courbure 

 constante réelles, pourvu que/)>> A/i; il se trouve que, pour les courbes à 

 torsion constante, c'est l'inégalité inverse /?■< ^« qui donne des courbes 

 réelles. 



