SÉANCE DU 26 JANVIER I9l4- aSp 



dont la solution est 



/•= 7^' 



('- — 1 — UP 



C étant la constante d'intégration. 



On trouve ainsi un système triple où les surfaces Z ont pour équation 

 y = K.xe', K étant la constante du système. Les autres systèmes Z se dédui- 

 sent de celui-là par homothétie de centre O ou rotation autour de O^. Du 

 reste ces systèmes sont compris comme cas particulier dans le suivant où 

 les surfaces S ont pour équation 



les lignes asyniptotiques sont orthogonales à 



yA|j'^+^-^^('-y/^)=eo„s,.. 



et l'équation obtenue en changeant le signe de radical. Tous ces systèmes 

 sont superposables à eux-mêmes par une translation. 



2. Je vais maintenant indiquer une deuxième démonstration du théorème 

 direct qui me conduira à ditlérentes propriétés de tout système I,. Suppo- 

 sons qu'on ait déterminé deux fonctions u et i> telles que les courbes A défi- 

 nies en égalant u et t' à des constantes forment une congruence de courbes 

 possédant des trajectoires orthogonales S. En chaque point de l'espace on 

 peut calculer sur I) les dérivées de z : p, q, r, *, /, au moyen de m, v et de 

 leurs dérivées. Si l'on écrit que la normale à la surface u en un point A est 

 tangente à l'une des lignes asymptotiques de la surface S qui passe en ce 

 point on trouve en désignant par X, Y , Z les paramètres directeurs de la 

 tangente à la courbe A qui passe en A : 



,- d A// ^- lu ,. () la 

 0^- Oy az 



Au = ( -j^ ) -+- ( 7- ) -+- ( 77 ) est le paramètre différentiel de Lamé. Ainsi 



pour obtenir un système S il faut que 



D(</.r, A») _ D(». f, Ac) __ 



13 ( X, y. z) "'*' Dr .-r, y. z) ~ '^' 



Ces conditions qui sont nécessaires sont également suffisantes, car si l'on 

 écrit que la surface u (x, y, z) =■ «. c (;», y, s) = F (a), qui est formée de 



