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courbes X, partage en deux parties égales l'angle deu et de c, on trouve 



or Au et Av sont des fonctions de u et de i^; on a donc pour F' deux valeurs, 

 d'où le système triple cherché qui n'est indéterminé que si Af^etAcsontnuls, 

 c'est le cas où les surfaces S sont des sphères; je vais revenir sur ce cas. De 

 tout ceci on déduit facilement ce théorème : 



Théorème. — Si l'on désigne par p, p,, p., les paramétres des trois familles 

 d'un système triple où 



ds- = H^ dp- + H] dp\ -\- H.Î dpi, 



la condition nécessaire et suffisante pour que ce soif un système Z (2 (-orres- 

 pondant à p), cest qu'il existe entre H, et Ho une relation de la forme 



A 2 R2 



hT^h^-^' 



ABC «e dépendant que de p, et p.,. Si C est nul, tes surfaces S sont des sphères 

 ou des plans. Si on laisse ce cas-là de côté, on peut faire C = x . 



Si maintenant nous considérons le ds'- d'une surface quelconque rap- 

 portée à ses lignes de courbure 



ds''=VL\dp\-^\{\dp\, 



et par 6 l'angle aigu d'une ligne asymptotique avec l'arc H, o'p,, on peut 

 toujours poser 



H - ^ H - ^ 



"•-^^' "^-liTTë" 



J'ai trouvé une formule remarquablement simple pour les courbures —■, — 

 des lignes asymptotiques en un point 



"^ ÂB V<^~^j' 

 au signe près. 



Dans un système S, A et B ne contiennent pas p, donc : 



Théorème. — Tout le long d'une trajectoire orthogonale A, les deux expres- 

 sions po sinaô et p'^ sin2Ô, joar suite ^, demeurent constantes. 



3. Enfin, je ferai remarquer que tout système triple où l'une des familles 



