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OU les équations équivalentes 



(•(.r) — '' f N (.r, .S-) ii{s!)ds. 



Onremarque que les fonctions «(a?) et v(a-) sont deux solutions ortho- 

 gonales de l'équation à noyau symétrique négatif 



(2) J;(,r)_/. / N,(,r, :?)'}(.<) f/5 = o, 



et quel'oji a encore 



/■" r" 



I ii-(,r)ef.r^=l v''(.r)d.r^ 



Si ih est une valeur caractéristique d'ordre « pour N(.r,v), — A- sera une 

 valeur caractéristique d'ordre 2«, et alors on peut former 211 solutions 

 orthogonales de l'équation intégrale (2) 



iti(.r), i',(.r); iu_{a;), l'îlo;); . . . ; "„(a-), ('«(j-); 



telles que 



cp,(a-)=:«,(.r) + /r, (,r), ..., 9„{a;) = ii„{a;) -h iv„{a-) 



soient n solutions de l'équation intégrale (i). 



L'inégalité généralisée de Bessel relative à l'équation (i) que M. Lalesco 

 démontre (') est donc l'inégalité de Bessel pour l'équation (2) à noyau 

 symétrique. 



Le développement d'une fonction d'après les fonctions fondamentales 

 de (1) est un développement d'après le système orthogonal de (2). 



Mais, quand on se propose de développer une fonction /'(a;) de la forme 



/* 



/(.r)=/ N{œ,s)/<{s)d/, 



•''a 



d'après les fonctions fondamentales de (2), la convergence n'est prouvée 

 que si l'on groupe de la manière suivante les fonctions fondamentales 



^r — ~x J^ 



(') Lalesco, Inlroduclion à la théorie' des équations intégrales, p. 77. 



