SÉANCE DU 26 JANVIER igi/i- 245 



OÙ 



/, ^/. 



/(„=/ it„(.r)h(j[')dx, K= v„(.r)hix)da;, 



^' fi *■ rt 



Si l'on a 



N.(-r. j)=2j ZÔT^ ' 



1 



la fonction D(A) de Fredholm relative à ]N(a;,i-) est au plus de genre un, 

 comme dans le cas symétrique. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation conforme. Note 

 de M. Erxst Lindelof, présentée par M. Emile Picard. 



1. Soient T un domaine fini du plan des z, limité par un seul contour C 

 sans points multiples, 'Ç=^f{z) une fonction qui donne la représentation 

 conforme de l'intérieur de T sur l'intérieur du cercle |C| = i, et 9('C) la 

 fonction inverse de/(:;). 



Dans un Mémoire récent ('), M. Caratliéodory a réussi à démontrer que 

 la correspondance univoque et continue entre les points intérieurs des deux 

 domaines s'étend aux points de leurs contours. La démonstration de 

 M. Carathéodory a été simplifiée par M. Kœbe (Gôttingen, igiS), à l'aide 

 d'une extension du théorème de M. Schwarz relatif au prolongement 

 analytique. 



Mais toute celte question peut se ramener au principe classique suivant 

 lequel une fonction monogène, régulière dans un certain domaine, atteint 

 toujours sa plus grande valeur absolue sur la frontière de ce domaine. On 

 arrive ainsi à une démonstration vraiment élémentaire. 



2. Nous démontrerons d'abord que, 'Ç tendant vers un point donné 'C,^ de 

 la circonférence |^| =; i par des points quelconques pris à l'intérieur du cercle, 

 la fonction z = ç(<^) tendra toujours vers une seule et même valeur-limite. 



Admettons qu'il y ait deux valeurs-limites distinctes, s' et z" . 



(') Mathematische Annalen, l. LXXIII, 19T2 ; voir aussi un Mémoire de MM. Os- 

 good et Taylor, inséré au Tome XIV des Transactions of thc American malhemalical 

 Society, igiS. Je rappelle que les correspondances sur le contour onl été étudiées par 

 M. E. l^icard dans son cours dès 188S, en supposant que le contour est analytique et a 

 des pointes \^\o\r\di première édition de son Tjailé d'Analyse (1898), et la seconde 

 édition, l. II, p. 3o6]. 



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