246 ACADÉMIE DES SCÎENCES. 



Les points ='et :;" du plan des z- sont situés sur le contour C et le divisent 

 par suite en deux arcs distincts, C, et C^. 



Soient P, un point de l'arc C, et S sa plus courte distance à Tare C^. 



Choisissons à l'intérieur de T un point r/, dont la dislance de P, soit<^ -> el 



de a, comme centre décrivons un cercle c, de rayon -• Ce cercle renferme 



intérieurement le point P,, mais laisse en dehors tout point de l'arc C^. 

 Construisons de même un cercle, c.,, coupant C.^ mais laissant C, à l'exté- 

 rieur, et ayant comme centre un point a., compris dans T. Joignons enfin 

 «(Cta^par une ligne continue L intérieure à T. Sur celte ligne |/(s)| aura 

 un maximum m <^i. 



Soit Tp le domaine commun aux cercles | Ç [ <[ i et\Z. — '(„ | <^ p. Ayant 

 fixé un nombre positif t arbitrairement petit, on pourra trouver dans t^, 

 quelque petit que soit p, deux points 'Cp et 'Q tels que, si l'on pose 

 2p = ?('Ç). Zp=?(<^p), on ait 



Joignons "Cl et "Cp par une ligne continue Xp comprise dans Tp. A Xp corres- 

 pondra dans le domaine T une ligne continue /p reliant les points z-'^ et z"^. 

 Les points z' et z" se trouvent séparés par les cercles c, et c, et la ligne L, 

 et il en est donc de même des points ;'p et z"p si i est suffisamment petit. Or, 

 si l'on suppose 



P < I — 'M, 



la ligne L, qui joint :;' et s", n'a aucun point commun avec L; elle doit 

 donc traverser l'un des cercles t, et c.,, sans toucher à L. Nous admettrons 

 que /p traverse le cercle c,. 



Le cercle c, est divisé par /p en différents domaines connexes. 



Soit 12 celui de ces domaines qui renferme le centre a, du cercle; O est 

 compris dans l'intérieur de T, et son contour se compose de certains arcs ' 

 de la circonférence c, et de la ligne /p. 



D'autre part la circonférence c, découpe sur C, certains arcs, dont l'un 

 AB renferme le point P,. Soit c l'angle Art, B. Parmi les arcs de /p qui font 

 partie du contour de O il y en aura toujours un, ApBp, tel que l'angle 

 ApOîiBp renferme intérieurement l'angle c. Choisissons l'entier n de sorte 



que — ^ f et posons 



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