SÉANCE DU 26 JANVIER ipi^. 247 



3. Après ces préliminaii*es, nous allons considérer la fonction 



7(^) = /(=)-Ço. 



Elle est holomorphe dans le domaine Q, contour compris, et son module y 



est inférieur à 2; de plus on a |/(2)| < p sur les arcs du contour de Q qui 

 font partie de /p. 



Posons niainlenanl, en modifiant un peu une méthode employée par 

 d'autres auteurs, par exemple par M. Painlevé dans sa thèse, 



et formons le produit 



F(.-)=7(.-)7:(.-)...7,_,(.-). 



La fonction /./^^ est holomorphe dans le domaine i},, qu'on obtient en 



faisant tourner 12 de l'angle — v. — autour du point a,. Donc F(s) est 



holomorphe dans la portion commune Q^ des domaines ii, Q,, .... 12,,^, qui 

 renferme le point «,. Or le contour de 0„ se compose exclusivement d'arcs 

 faisant partie de la ligne /^ ou de ses transformées par les rotations consi- 

 dérées ci-dessus. 



D'après ce qui a été dit de f{z), on aura donc sur tout ce contour, 

 et par suite aussi à l'intérieur du domaine iî^, 



|F(;)|<2"-'p. 

 Pour :; = r/|, cette inégalité devient 



l/(«.)-Ço|"<2"-'p- 



Comme cette conclusion subsiste quelque petit que soit p, on devrait donc 

 avoir/(a, ) — (^„ = o, ce qui n'est pas vrai puisque |/(«, )\'^ m <^\ tandis 

 que |'Co| = i. La proposition énoncée au début du n° 2 est donc exacte. 

 Par un raisonnement analogue, on prouve que, inversement, à un point 

 donné du contour C correspond un point et un seul de la circonférence 

 I £^| = I, et la démonstration est achevée. 



