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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la convergence des séries de fondions 

 analytiques. Note de M. Georges Rëmoundos, présentée par M. F'mile 

 Picard. 



1. Je me propose ici de faire connaître des généralisations de quelques 

 théorèmes de MM. Montel, Caralhéodory, Landau et Schottky, sur les 

 familles et les séries de fonctions holomorphes dans un domaine D n'y pre- 

 nant ni la valeur o, ni la valeur i. Ma généralisation consiste en ce que le 

 domaine d'holomorphie est remplacé par un domaine dans lequel les fonc- 

 tions peuvent avoir un nombre fini de points critiques algébriques. 



J'ai établi les théorèmes suivants : 



Théorème I. — Etant donnés un domaine connexe D du plan z et des points 

 quelconques c, , c^ , C3 , . . . , C|, ( [j. étant fini) situés à son intérieur, si nous con- 

 sidérons toutes les fonctions /{z) qui possèdent les trois propriétés suivantes : 

 (a') elles sont algébroïdes à un nombre fixe v de branches finies dans le 

 domaine D; (^') elles ne prennent dans D ni la valeur o, ni la valeur i; 

 (y') elles n admettent pas, à l'intérieur du domaine D, d'autres points cri- 

 tiques que les points c, , c.,, c^, . . ., c^. 



Ces fonctions f{z) forment une famille normale; c^ est-à-dire : de toute 

 suite infinie de fonctions de la famille, nous pouvons extraire une nouvelle 

 suite infinie convergeant uniformément, dans tout domaine D, intérieur à D, 

 vers des fonctions finies dans D ou vers la constante infinie, dont le nombre 

 total de branches est égal à v. 



C'est une généralisation d'un important théorème de M. Montel [Sur 

 les familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exception- 

 nelles dans un domaine (Annales de V Ecole Normale, t. XXIX, novembre 

 1912, p. 497-5oi)J. 



2. Avant d'énoncer les autres théorèmes, je tiens à rappeler les défini- 

 tions de la convergence des séries de fonctions multiformes, que j'ai don- 

 nées dans des Notes antérieures. 



Soit 



(0 Ai-)- .A(-), •.., /«(;), ... 



une série de fonctions algébroïdes à v branches finies dans un domaine D. 



