SÉANCE DU 26 JANVIER I914. 249 



Si, dans celte série, nous remplaçons chaque terme par une de ses 

 branches, la série ainsi obtenue sera appelée branche de la série (i). 



Nous dirons que la série (i) converge en un point - = z^, s'il existe 



V branches convergeant en s = c„. 



\ous dirons que la série (i) converge uniformément dans D, s'il existe 



V branches de la série convergeant uniformément dans D. 



TnKOKK.MK II. — Soil /,(:■), f.,(z), ...,/„(z), ..., une série de fonctions 

 algébroïdes à v branches finies iyV fixe) dans un domaine D, dans lequel elles 

 n admettent comme points singuliers (points critiques) que certains points 

 fixes c^, c.,, c^, . . ., c^ (^ fini) et supposons que les fonctions de la série ne 

 prennent dans le domaine D ni la valeur o ni la valeur \ . 



Si cette série converge en une infinité de points ayant un au moins point 

 limite dans f intérieur de D, elle converge dans tout le domaine ; de plus, elle 

 converge uniformément^ dans l'intérieur de D, vers des fonctions algébroides 

 et finies dans D {^dont le nombre total de branches est égal « v). 



C'est une généralisation d'un important théorème de MM. Carathéodory 

 et Landau ('), se rattachant à un autre de M. Vitali (-). 



Théorème III. — Soit (F) une famille de fonctions algébroides à v branches 

 finies dans un cercle de rayon R, dont le centre est le seul point critique. Si 

 nous supposons que les fonctions de la famille ne prennent, dans ce cercle, ni 

 la valeur o ni la valeur i et que les valeurs de toutes ces fonctions au centre du 

 cercle sont en module inférieures à un nombre fixe a, leur module est, dans le 

 cercle concentrique de rayon OR (o <^ fi <:^ i ), inférieur à un nombre fixe 

 M (a, 0) /îe dépendant que des y. et 0. 



C'est une généralisation d'un théorème, par lequel M. Landau (^) a 

 complété un autre de M. Schottky (^). 



3. Les théorèmes énoncés dans celle Note montrent que le rôle que joue, 



(') Beilrage zur Konvergenz von Funclioiienfolgen {Silzungsberichte der kôn. 

 preiis. Akademie der Wissenschaflen, l. XWl, 191 i). 



(-) Sopra le série di ftinzioiii ana/itic/ie {fiendiconli del Ft. /st. Loinbardo, 

 t. XXXVl, 1908, p. 772). 



(') Voir H. BoHii und E. Landau, LJeber das Verhalten von K,{s) und t^\s) in der 

 iXâlie der Geraden (7 = 1 [l\aclirichten der K. Gesellschaft der Wissenschafflen zii 

 Gôtlingen, 1910). 



{'') Ueber den Picardschen Satz und die Borelschen Ungleicliiingen (Silzungs- 

 herichte der lion, preits. Acad. der Wissenschaflen, t. XLII, 190^, p. 1244-1262). 

 C, R., 1914, I" Semestre.KJ. 158, N» 4.) 32 



