SÉANCE DU 26 JANVIER IQl/l. 25l 



Nous dirons alors qu'une solution a de 



/{x) = o (inodM) 



est régulière, s'il lui correspond des solutions />, ..., des congruences 

 g{x)^zo, ... telles que a, b, ... vérifient, suivant le module M, les relations 

 entières, à coefficienls entiers, qui existent entre les racines correspondantes 



de/, g, Pour vérifier qu'une racine est régulière, il suffit évidemment 



de le vérifier pour n — i équations dont les racines constituent, avec i , une 

 base des entiers du corps. Une solution sera dite, de même, réguhéremenl 

 multiple, d'ordre k, si {x — r/)* et les binômes correspondants divisent, 

 suivant le module M,/(.r) et les polynômes correspondants. 



Ces définitions, qui sont en somme relatives aux diviseurs du premier 

 degré de/(a;), s'étendent sans difficulté, au cas de diviseurs, suivant le 

 module M, de degré supérieur irréductibles ou non suivant le même 

 module. On peut aussi remplacer cette notion de diviseurs par celle 

 d'imaginaires de Galois. 



2. Moyennant ces conventions, on peut établir les résultats : 



Un polynôme f {x) est décomposable, d'une seule façon, suivant le 

 module// {p premier), on un produit de diviseurs réguliers, irréductibles, 

 sLiivant le module. (La somme des degrés des diviseurs est le degré àc f.) 



De tout diviseur P(a;), régulier et simple, suivant le module premier /> 

 on peut déduire, pour tout module p'', un diviseur, de même degré m, 

 régulier, irréductible et simple [P, (a;)^P(a-) (/))]. Si V{x) est régu- 

 lièrement multiple d'ordre k, aucun des polynômes congrus à P, suivant /j, 

 n'est diviseur régulier poury/, maison peut trouver un tel diviseur, irré- 

 ductible, de degré mk, et simple suivant le module /j'^ parmi les polynômes 

 congrus à [P(a;)J^. Si mk = «, ce nouveau diviseur coïncide avec le poly- 

 nora&f^x). 



On déduit de là des résultats analogues pour un module composé, 

 M =/)*§'''', ...; il suffit de remarquer qu'à toute combinaison de diviseurs 

 P(a7), Q(r), ... suivant les modules i-espectifs y',c/', ..., correspond un 

 diviseur suivant M, de degré égal au plus grand des degrés, régulier et 

 irréductible, si P, Q le sont aussi. 



3. L'étude des congruences est évidemment en rapport étroit avec celle 

 des corps algébriques (') ; les résultats précédents fournissent des condi- 



(') Ce fut riième rim des points de départ de M. Dedekind pour sa théorie des 

 facteurs du discriminant {Ahlt. der Ges. der Wiss. zit Gôtt., 1878-1882). 



