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lions Cl des règles très simples pour la formation et la multiplication des 

 idéaux entiers d'un corps; je me contenterai d'en indiquer ici quelques- 

 unes. 



Si f{x)^ g(x), ... sont n—\ équations, dont les racines correspon- 

 dantes a, [i, ... forment, avec i, une base des entiers du corps et si a est 

 une solution régulière de /(j?)eso, {p'') et b, ... les solutions correspon- 

 dantes des autres polynômes, les entiers complexes : 



(i) (jo'S a — a, (3 — A, ...), 



forment une base d'un idéales de norme p'' (si A = i , l'idéal est premier). S'il 

 existe une deuxième solution régulière a' , h', ..., \e produit des idéaux y.','!'' 

 ainsi obtenus a pour base 



(2) (/y',yy'«, P — B«-B', y-C« — C, ...), 



B, B', C, C, ... étant définis par les systèmes de congruences 



B'-hB«s/> , , C'-hCasc ^ , ,^ 



(luot /)''), ^ ^ , , (modo"), ..., 



et a, a' supposés différents (rh'od p''). 



On obtiendrait de même pour trois facteurs 



(3) (/y',/y'«,yy'p, y-C|3-C'«-C", ...). 



et ainsi de suite. 



Dans le cas d'un diviseur régulier, irréductible de degré 2, P(x), on peut 

 ramener la question au cas précédent, en introduisant les imaginaires de 

 Galois, solutions de P(x), modp''. On obtiendrait ainsi deux bases de la 

 forme (i), à coefficients imaginaires et qui pourraient être considérés 

 comme définissant des idéaux de Galois. Pour revenir aux termes réels, il 

 suffit de considérer le produit qui est de la forme (2); de même pour un 

 diviseur de degré supérieur. 



Si a est solution simple, le carré de l'idéal 'f a pour base 



«*, h', étant la solution, mod p-^', déduite de «, b, .... Si cr est régulière- 

 ment multiple d'ordre /(alors h = i), le carré de ^S s'obtient en appliquant 

 au produit '^ y< ^S\n règle donnée ci-dessus pour le cas de facteurs diffé- 

 rents. La base est de la foi-me (2), on en conclut que $^ divise [p] ; il en est' 

 de même des puissances successives jusque ^. 



