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et choisissons l'unité de temps de manière que le coefficient attractif de- 

 vienne égal à I . Appelons r, et /.. les distances m^^m, et r)i„m.^ et posons 



(2) 



Je dis que : 



(H 

 dfj. 



{t ^o pour tj. zzz o). 



3. A une râleur réelle de t correspond toujours une valeur réelle de u. et 

 inversement ; et quon a Uni ix = ± ce ei lini^ = di :o. 



Pour le voir, appelons l^ une valeur réelle du temps; si, de t = o jusqu'à 

 l —. l^^ il n'y a pas de chops, le théorème est évident. 



Dans le cas contraire, soit t l'instant où a lieu le premier choc : suppo- 

 sons, par exemple, entre m^^ et/»,. Nous pourrons, avec M. Sundman, 

 choisir A de manière que, de ? = t - A jusqu'à / = t, on ait 



(3) 



On a donc 



(4) l;^.=.| 



/ 



IVWil < 



dt 



-dr. 



/•,+ r, — I 



J, = .-}''' 



v/^ 



Pour ; = T la fonction dans la deuxième intégrale devient infinie d'ordre- 



à l'égard de r, ; ut.^^- est donc finie. Mais, comme on sait, de / := o jusqu'à 

 t = t,,\e nombre des chocs est certainement limité; u.,=,_ sera donc fini. 

 En tendant l vers ±: x, a tendra aussi vers ±cc; en efîct la quantité 

 r, -I- Tï — I peut, au plus, devenir infinie de premier ordre à l'égard de /. 

 Inversement il s'ensuit qu'à chaque valeur finie et réelle de u. correspond 

 une valeur finie et réelle de u. et qu'on a limu. = zh oc. 



4. Les coordonnées de m^el le temps sont des fonctions de [i. holomorphes 

 aux environs de l'axe réel quel que soit le nombre des chocs. 



J'imaginerai, comme le fait M. Sundman, nos corps dénués d'impénétra- 

 bilité et je supposerai aussi que w„ se meuve sur le plan de l'orbite de /», 

 et m^, quoique cela ne soit pas nécessaire. Soit uLp une valeur réelle de u. 

 et If, la valeur correspondante (toujours réelle et finie) de t. Si à Tinstant /<,, 

 r, et To sont différentes de zéro, les coordonnées de m^ et le temps sont évi- 

 demment développables en séries de puissances de jx — Uo. Supposons, au 

 contraire qu'une de ces distances, par exemple /■,, soit nulle et appelons Sr 

 l'angle formé à chaque instant par le rayon vecteur r, avec la droite ?/i,m.,. 



