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indépendant de y dans le produit de ces deux séries. On arrive ainsi à la 



relation ( ' ) 



„ , x^ "+ix^ "'■) — '"i 

 (2) ^'ix)=&{x).^2^q *2]cos-^— -^o.; 



V s'étendant à toutes les classes de formes quadratiques, binaires et posi- 



tives, de discriminant 4 « -1- 3 et de l'ordre propre; on désigne respecti- 

 vement, d'une manière générale, par m,, m.^, m les deux minima impairs et 

 le minimum pair {m,^m.^) des formes d'une classe de l'ordre propre. En 



égalant, dans les deux membres de (2), les coefficients des termes en q * 

 après avoir remplacé '^(x) par son expression en série de Fourier déduite 

 de celle de '-['(^), on retombe sur la formule fondamentale de ma Note du 

 21 février 1910. 



On peut obtenir encore la relation (2 ) comuie cas particulier d'une autre 

 plus générale. 



2. En partant des propriétés de la fonction '\'(x), indiquées dans ma 

 dernière Note, on arrive au développement suivant 



(^^ ^■^•^■^ H(.r)Q(a) =^Z'^ Z'-'"' ^ ,.cos_^— «, 



71=0 itn-i-3 



7 ayant la signification qui vient d'être indiquée. 



Si, dans cette formule, on fait j; = o, en observant que le premier 

 membre devient rj, 0, 0.2']/'(a).: y], O, O.0(«), on retrouve la relation (2), 

 avec a remplaçant .r. 



Mais (3) donne encore d'autres conséquences. 



Par exemple, en y supposant a = o, on obtient 



tr\ „ fl 4'(-^) _ / V ." + ^ V „„. nH + m^—in 



de même, par x ^= -, a = - +,v, on a 



cos X ; 



2 



+ (7) 



(=> ».a7i=^2'"''<-)"E(-i' 



m, — m. 



Qd}')-^^'' ' '' ^' " ^'"' - ^- 



ri =0 



(') Voir, à ce sujt^l, ma Noie du 21 féviier 1910. 



