SÉANCE DU 2 FÉVRIER igi^- ^ig 



intégrales ; Tune est celle qu'on obtiendrait si, gardant/ (/•), on supposait 

 <>■ (^oc) = o ; l'autre, celle qu'on obtiendrait si, gardant g (./;), on faisait 

 y(,r) = o. Cette circonstance, qui résulte du caractère linéaire de l'équa- 

 tion (2), permet de scinder en deux temps la démonstration par laquelle 

 M. Louis Roy justifie, dans le cas particulier qu'il étudie, l'intuition du 

 physicien ; à la question précédemment formulée, elle permet de donner 

 une réponse affirmative. 



Les propriétés que possède l'intégrale de l'équation (2), pour les très 

 petites valeurs du coefficient de viscosité "k, permettent d'étudier la propa- 

 gation des quasi-ondes. 



Lorsque X est rigoureusement nul, l'équation (2) se réduit à l'équation 

 des cordes vibrantes; il peut alors arriver que, pour un système donné de 



valeurs de x et de /, o, -^> -p soient des fonctions continues, mais que les 

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dérivées secondes de o ou, au moins, quelqu'une d'entre elles, soient discon- 

 tinues; on a alors, à l'instant /, selon le langage d'Hugoniot, une onde plane 

 proprement dite, dont la valeur considérée de x est l'abscisse; cette onde 

 se propage, soit dans le sens de l'axe des x, soit en sens contraire, avec la 

 vitesse a qui est la vitesse du son dans le milieu considéré. 



Si le coefficient de viscosité X n'est pas rigoureusement nul, l'existence 

 d'une telle onde progressive est une impossibilité; mais on peut observer 

 la propagation de quasi-oncles. Entre deux valeurs de x très voisines, à un 

 instant donné <,les dérivées secondes de !p, sans être discontinues, éprouvent 

 une très notable variation. Au lieu du plan de discontinuité, perpendi- 

 culaire à l'axe des x, qui constituerait, à l'instant /, une onde véritable, 

 nous avons une couche de passage extrêmement mince qui constitue une 

 quasi-onde. 



M. Roy a étudié l'allure de ces quasi-ondes, d'abord en supposant nul 

 le déplacement initial /(a^\ puis en supposant nulle la vitesse 

 initiale g{j^). Le cas général s'obtient, nous le savons, en superposant ces 

 deux cas particuliers. 



Toute quasi-onde se déplace avec le temps, soit dans le sens de l'axe 

 des X., soit en sens contraire, avec une vitesse égale à a. En outre, au furet 

 à mesure qu'une quasi-onde se propage, son épaisseur augmente et les 

 variations qu'éprouvent, en la traversant, les dérivées secondes de cp, 

 deviennent de moins en moins rapides; la ressemblance qu'elle offrait, au 

 début de la propagation, avec une onde véritable, va en s'effaçant de plus 

 en plus; tandis que l'onde véritable se propage en demeurant toujours 

 identique à elle-même, la quasi-onde s'évanouit peu à peu. 



