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nombre de paramètres dont elles dépendent peuvent devenir aussi grands 

 qu'on veut. 



Ces courbes sont le premier exemple obtenu explicitement de courbes algé- 

 briques non unicursales à torsion constante. Les méthodes indiquées dans les 

 Notes déjà citées rendaient assez vraisemblable l'existence de telles 

 courbes, par le dénombrement simultané des inconnues et des équations 

 de condition, mais ne garantissaient pas la compatibilité de ces systèmes 

 d'équations. 



2. La courbe (B) est le lieu du point f, c', c"; nous posons 



' — -■ c^i ^, c'— — — i-- 



"• a — (3 ' a — (3 



V 



Si est une fonction algébrique de a, K une constante numérique, l'équa- 



K 



tion p — 7. = -7^ définit un système de courbes sphériques (B) ayant toutes 



les mêmes points à l'infini; d'après M. Fouché, il faut et suffit que 



j ((3-«)^' J ((3-«)^' j (P-«)^ 

 soient fonctions algébriques de a, quel que soit K, c'est-à-dire que 



i B'da, fe^xda, I e'x-dx, fddx, jBadoi. 



soient fonctions algébriques de a. 



Intégrons par parties : il est nécessaire et suffisant de connaître deux 

 fonctions algébriques a et d'une même variable p telles que 



fccd{0-), fc(-'d(6^), fa.^d{fj'), fxdO, f (x^ dO 



soient fonctions algébriques de p. 



On aperçoit aisément une solution particulière ; A,, A^,, ..., A^„, 

 A, A,, ..., >.„,_, étant des constantes, posons 



« - Ip'" + ■/.,/>"-• + . . . + l,„^,p. 



Les trois premières intégrales sont égales à des polynômes en p, les 

 deux dernières se ramènent à une somme linéaire d'intégrales de première 

 et seconde espèce relatives à la courbe hyperelliptique (^,p) de genre n. 



