SÉANCE DU 2 FÉVRIER 1914. 827 



totales, ce qui est toujours possible; ce sera un système de n équations de 

 Pfafi' à /2 -I- 2 variables, dont n -\- i seront regardées comme fonctions 

 inconnues de la dernière. 



Rappelons d'abord la notion de système «/mWd'un système donné S. Si 

 le système est formé des équations 



le système dérivé S' est formé des équations de la forme 



/, fj)| + X.> «2 -t- . . . + >.„ &)„ = O 



qui jouissent de la propriété que l'expression différentielle bilinéaire 

 s'annule en tenant compte des équations 



&)f=:0. W^=:0 ((' =■ I, 2, . . . , rt). 



Le système dérivé S' n'est identique au système S que si celui-ci est 

 complètement intégrable; en général l'ordre de S' (nombre des équations 

 linéairement indépendantes) est inférieur à celui de S. 



Cela posé,^o«r que la solution générale du svslème S d'ordre n à n -\- 1 

 variables, dont n + i dépendantes et i indépendante, soit susceptible de la 

 forme (D), il faut et il suffit que V ordre de chacun des systèmes dérivés 

 successifs S', S ", . . . soit inférieur d'une unité au plus à l'ordre du précédent . 



Si cette condition n'est pas réalisée, soit S'" P' le premier système dérivé 

 dont l'ordre soit supérieur de deux unités au système dérivé suivant S'"~p~''. 



Convenons d'appeler classe du système S cet entier p, qui est au moins 

 égal à 2. Cela posé, étant donnés deux systèmes S et S' de classes diffé- 

 rentes p et p' (p' > p), il est impossible d'exprimer la solution générale de S' 

 par des formules dépendant d'une manière déterminée d'une solution arbi- 

 traire de S. Dans le cas où les deux classes sont égales, cela n'est possible 

 que si les deux systèmes dérivés d'ordre p correspondants, qui peuvent 

 s'exprimer chacun au moyen de p -l- 3 variables, sont transformables l'un 

 dans l'autre par un changement de variables ; alors la solution générale de S 

 peut réciproquement s'exprimer par des formules dépendant d'une manière 

 déterminée d'une solution arbitraire de S' : les deux systèmes sont équi- 

 valents. Le problème général de l'équivalence absolue des systèmes diffé- 

 rentiels est ainsi résolu lorsque la solution générale dépend d'une fonction 

 arbitraire d'un argument. 



L'équivalence des systèmes de trois équations de Pfaff à cinq variables 

 (p = 2) a fait l'objet d'un Mémoire que j'ai publié dans les Annales de 



