33o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Les coeflicients a^, a^'\ b,., ... sont des nombres ralionnels qui ne dé- 

 pendent pas de n, et qu'on peut calculer facilement en donnant à n succes- 

 sivement les valeurs i, 2, 3, ... et en résolvant des systèmes d'équations 

 linéaires. 



Par exemple, si l'on pose /• = o, on trouve 



«0=2, />o=8, C„-= [\, rf(,— 16; 



8, 



On obtient ainsi les formules connues donnant le nombre des décomposi- 

 tions d'un entier en 2, 4» 6, 8, 10 et 12 carrés et des formules analogues 

 pour les cas de i4 et 16 carrés, qui paraissent être nouvelles. 



Le résultat énoncé s'obtient par la méthode de comparaison des différents 

 développements en séries que fournit la théorie des fonctions elliptiques, 

 et cette méthode donne aussi un moyen direct pour le calcul des coeffi- 

 cients «,., a'^\ brt 



Les démonstrations des propositions énoncées seront données dans un 

 travail plus étendu. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une question concernant les fonctions 

 entières. Note de M. G. Pôi.ya, présentée par M. J. Hadamard. 



Considérons la fonction 



( I ) F ( ^ ) = ce- Y^'+5* a-'- TT ( I — d, .r ) (•S-'- . 



v= 1 



y"^o, c, §,§(,...,§,,,... étant réels, S^ + S^-f- . . . 0^ + • • • convergeant. 

 F (a?) est le produit de la fonction e'^'"' et d'une fonction entière arbitraire 

 de genre un, à racines et à coefficients réels. Comme on sait, toutes les déri- 

 vées de F (a?) ont aussi toutes leurs racines réelles. Cela résulte immédiate- 

 ment de la remarque qu'il existe une suite des polynômes à racines 

 réelles 



