SÉANCE DU 2 FÉVRIER I9l4- 33 1 



convergeant vers F(,r). Posons, en effet, 



*-<--'='-^ ■^ °"°'::-"°- - -11 



.1 — OvX. 



•i = 1 



/«„ étant un entier convenablement choisi, (i) représente d'ailleurs la fonc- 

 tion analytique la plus générale qui est limite d'une suite des polynômes à 

 racines réelles ( ' ). 



On est ainsi amené à se demander s'il existe ou non d'autres fonctions 

 entières, ayant, de même que toutes leurs dérivées, exclusivement des racines 

 réelles. Cette question me semble très difficile, mais je suis parvenu à en 

 résoudre une partie, bien modeste, en effet, en démontrant le théorème sui- 

 vant : » 



I. Supposons /a fond ion entière ¥ (x) assujettie aux conditions sui- 

 vantes : 



i" Le genre de F (r) est fini ; 



2° Le nombre des racines de F {x) est fini; 



3° Les fonctions F (a?), F'(.r), F (a?), . . . ont toutes leurs racines réelles. 



Alors F (x) est de la forme (i). 



Si la fonction F(j:) satisfait aux conditions i° et 2°, elle est nécessai- 

 rement de la forme 



(2) F(a,-) = g-(x)e"'-^', 



g{x) et H(a") étant des polynômes. Supposons H (x) de degré m + i ; notre 

 proposition revient à celle-ci : 



II. Si m -h 1 = 3, la fonction (2) aura toujours des dérivées dont certaines 

 racines ne seront pas réelles. 



Même conclusion si, m -\- 1 étant égal à 2, le coefficient de ./•- dans H(j7) 

 est positif. 



J'ai obtenu une démonstration de ce fait en faisant usage d'une remarque 

 que M. J. Schur a bien voulu me communiquer. 

 Posons 



dx" -a"^-*)^ ' dx -'H^;- 



{') Œui'res de Laguerre, p. 174; Rendiconti Palermo, t. XXXVI, 1918, p. 279. 



