332 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Les polynômes gn(j') sont déterminés par la formule récurrente 



d'où 



(3) 



Posons 



g'n , /'' , ' d . f,„ 



gn+x g,i It , , g'n dx\hl. 



Ilgn 



g' _'V S^ II' _VI <v g'n _VI S„,v ^ 



v=o v=o v=o 



Jv, ^v, S„,v étant les sommes des puissances v'''"'<=' des racines de g{x), h(x), 

 g,t{x) respectivement. Posons enfin 



I _ Po ^ Pi _^ P^ _^ 



li(x) X'" x"'+^ x"'+^ 



En égalant les coefficients dans (3), on déduit, par voie récurrente, les 

 formules : 



Pour V = o, I, 2, . .., «/, 



(4) ' S„,,;=:s,, + /i<v; 



Pour V = »« + I, /// + 2, . . ., irn -+- i, 



(5) 



V - /« — 1 ^ 



* — Il 



Si^„(a7) a toutes ses racines réelles, les quantités S„,o, S,,,,, . . ., S„^v, • • • 

 doivent satisfaire à certaines inégalités, dont voici les plus simples : 



Nous établirons notre proposition en démontrant que, pour n suffisam- 

 ment grand, certaines de ces inégalités ne peuvent pas subsister. En vertu 

 des formules (4), (5), les premiers termes des inégalités ((i) sont des poly- 

 nômes par rapport à la variable n. Pour n très grand, le signe de ces poly- 

 nômes ne dépend que du coefficient de fa puissance la plus élevée de n. 

 Or, il est facile d'évaluer ce coefficient. 



Premier cas ; m -h i = 2, jo„ > o. — S„ ., est de degré 2, et l'on a 



S„,2 = — p^n^ 4-. . . 



