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brièvement, en nous bornant au cas le plus simple, celui de l'espace à trois 

 dimensions. 



1. Polynômes V. — Considérons les polynômes V,; ^ ayant comme fonc- 

 tion génératrice ( ' ) 



(ï) , ',. . ,. =2 "'^"' ^v.,v 



Ces polynômes sont (Noie B, § 4) les déterminations que prennent cer- 

 tains polynômes harmoniques homogènes sur la sphère S 



x^+ J-+ ;'— 1 = 0. 



Les polynômes Vj^,, d'un degré donné \j. + v=in sont évidemment au 

 nombre de n -i- i •, si l'on pose 



x^^\]\ — s'-'coscp, y r=z\fî~— z- sincp, 3 = cos9; 



ils deviennent des fonctions spéciales Y„(0, f) de Laplace, qui ne changent 

 pas quand on remplace par tt — G, c'est-à-dire qui prennent les mêmes 

 valeurs en deux points M et M' de la sphère S, symétriques par rapport au 

 plan des acy. 



Si, d'autre part, on considère les fonctions de Laplace Y„(0,cp)d'ordre/?, 

 elles sont au nombre de 2« -i- i. Prenons-les, sous la forme donnée par 

 Poincaré (-) : 



( X^COS/J(p (/^ = 0,1,2 «), 



l X^sinpcf (p— I, 2, .. ., n), 



(II) 



OÙ l'on a 



I £ r/"+Pl I -2 y; £ r/P Y 



2«lI(/() ^ ' dz-'+i' ^ " ' dzi' 



X„ étant le polynôme de Legendre. Il y a toujours n -h i de ces fonctions Y„ 

 qui sont paires en ? : ce sont celles où n -\-p est pair. Appelons ces fonctions 

 "^HTlicuYiQVQS fondions sp/iériq lies paires e.làèû^\\ox\s-\e?> parY„,, Y„„, ..., 

 Y 



. Théorème. — Les polynômes \ ^,, île degré u. -i- v = n sont des fonctions 

 linéaires à coefficients constants des fonctions sphériques paires Y„ ;,. 



(') D'après les nolations des Notes D et K il faudrait écrire V|îi°v; aucune confusion 

 n'étant possilile, on a supprimé l'indice (o). 



(^) H. PoiNCAiiÉ, Figures d'équilibre d'une niasse fluide, Gaulliier-Villars, p. 43. 



