SÉANCE DU 9 FÉVRIER 1914. 383 



Ce théorème résulte de ce que les fonctions Y^,,^^, d'une part, et les Y„ ;;, 

 d'autre part, sont en même nombre. On peut obtenir l'expression des Vj^,^ 

 en fonction des \ „ a par la méthode suivante : 



En posant b = atanga, dans le développement (i), il prend la forme 



:2 «•'•""' tang-jtV,,,,. 



\/i — ia{.x -^- y tan g ot) + a-(i + tangua) 

 D'autre part : 



i — 2a(,i- + )■ tanga) + <7-(i + tang^ ot) =: r — \/i — z- cos(cp — ot) 4- 



\/ 



I — '.i y/i — ;- cos ( o — a.) -\- 



^ cos" c. ' ^ ^ ' ■' 



Les coefficients de a" dans ces deux développements doivent être 

 égaux: 



p. -t-v=n 



La formule d'addition classique ( ') des polynômes de Legendre, 



fi=ii 

 X„an + vA^^s/"^^=^cos(,0::^;^2 "|"~^^j X/;(g)Xg(r,)cos/.to, 



,, = 

 donne, en y faisant 



^=3, V) =z O, U) := Q — a. 



■""S 1* »[JL,V _^ '■!■ 



(111) 2 tang--aV^..^;^2 i||;;^^| x,';(.)\g(o) 



Comme, pour n +jd impair, X','(o) = o, le deuxième membrene contient 

 que des termes où n -\- p est pair; c'est un polynôme en tanga; en identi- 

 fiant on obtient les V^, v exprimés linéairement au moyen des Y„ ;,. 



Ceci posé, étant donnée dans le cercle C, x^-hy- — 1 = 0, une fonction 

 /(x,y), faisons correspondre à chaque point P(x,y) de C les deux points M 

 et M' de la sphère S, qui se projettent en P. Construisons sur S une 

 fonction F(M) prenant aux points symétriques M et M' la même valeur 

 F(M) = F(M') =y(a;, y). Supposons Fdéveloppable en série de fonctions 



(') E. IIeinis, Handbucli der Kugelfunclionen, zweite Auflage, p. 3i2. 



