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de Laplace, son développement ne contiendra que des Y„ pairs : 



« = -f- » / /, r:; 71 -+- 1 



(IV) ^ 



* = 1 



F(M)= 2(2 1^'./.^'".'. )• 



/i = n + i 



D'après le théorème précédent, l'expression 2B„_^Y„^. est idenliqiie à 

 un groupe de polynômes Vp,,;(L/. + v = n), 



A = « + 1 



^ B„, /,¥„,/,.= ^ An,vV,j,.v, 



t = 1 [J. + V = n 



donc 



fl-t-V=oo 



(V) f(-^,f)= 2 ^s^.^'^v.v 



!J + V = 



Les séries (IV) et (V) convergent de la même façon. 



Remarque. — La dérivée partielle, par rapport à s, de 



_x 

 [x- + y -h z- — 2a jo — 2hy + a'-+b''] ^, 



est une fonction harmonique qui sur S donne lieu au développement (') 



_ 3 



:[i — 2ax-'^2l>y+n'+ 0^] - = lai'-lj'' zW^,.,.,{a:, y). 



Les fonctions iWi^vj de degré « en a", r, z, sont au nombre de n; elles 

 sont linéairement équivalentes aux fonctions \ „ de Laplace impaires en z, 

 qui changent de signe quand on remplace G par u — 0. Nous n'insistons pas 

 sur les développements qui en résultent. 



IL Polynômes U. — Partons de la fonction 

 Lo5 



qui (Note C) est harmonique; sur la sphère S elle devient 



Log ' =r i; rtl^ (f>'' Um V, 



V'( ox -+- by - ,)2 4- («2 _^ ;,2) (, _ .^2 _^,2) 

 Les polynômes U(j. ..(p- -+- v = /?) étant des fonctions sphériques sur S 

 (') Conformément aux notations des Notes \) et E, W^,., = ^îi.v- 



