(.) E„/(^) = 



/,68 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En désignant par E„/(x) la valeur asymptotiqiie de la meilleure ap- 

 proximation de f{x) sur le segment (— i, + i) par des polynômes de 

 degré «, on a 



4 A 



R'M R2 -t- -^ — 2 COS 2 CB 



X 



R2cos(/; + 20 — 9) + ■— cos(« — 29 — 9) — 2 cos(«cp — 



R^4- 77- — 2 C0S2CB 



R- cos(rt -t- 2 (p — 6) 4- ■i-;Cos(« — 2 cp — 9) — 2cos(/icp — B) 



R- + — — 2 cos 2 ( 



4 sin^cp 

 R — 



(le signe devant le radical est toujours celui du premier terme). 



II. Une discussion facile de la formule (i) permet de distinguer trois 



cas : 



i" Pour '^ incommensurable avec Tt, le produit R"E„/(a7) s'approche 

 indéfiniment de toutes les valeurs comprises entre les deux limites 



4A 



R^ 



+ p(ï-2C0S2Cp 



et 



r . / 4 sin-cp I 



8 A| sin cp I 



R.+ __,C0S20 R-J^ 



1° Pour cp commensurable avec TT, le produit R"E„/(ir;) reprend pério- 

 diquement plusieurs valeurs déterminées (qui dépendent de 6) comprises 

 entre ces deux limites; 



3° Pourç=o, le produit R"E„/(.r) [conformément à la formule (5) 

 de ma Note citée] est constant. 



Ainsi, par exemple, si Œ'= ^' on aura, p et q étant des nombres réels 

 quelconques, 



(2) 



(, + v/î)"E„(^^) = ^[l/.| + v/2/>' + /-] (pour «pair), 

 (, + v/2)" E„(^^^±^) = ^[\q\ + s/2.j^ + p^] (pour «impair). 



