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ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la méthode (le Lciplace. 

 Note de M. J. Darmois. 



Considérons une équation aux dérivées partielles du type de Laplace 



d'^z ùz , dz 



— -H «^r- -h h-— +CZ — 0. 



ox oy ar oy 



admettant une solution de rang i H- i par rapport à .r, soit 



(T) .. = AX-+-A,X'-r-...+ A,X"-). 



Donnons, à la fonction arbitraire \,i-\-i valeurs X,, Xo, ..., X,v:.. Il 

 existe évidemment, entre les solutions z correspondantes, la relation linéaire 

 et homogène 



(2) 



^'/._o 



dont les coefticients ne dépendent que de œ. Elle a donc la forme 



Il =1+1 

 (2') ^ ç/,;/, = 0. 



h = \ 



Réciproquement, si une relation de cette forme a lieu entre i '+ 2 inté- 

 grales de l'équation donnée, peut-on en conclure que la suite de Laplace 

 relative à cette équation se termine et après quel nombre d'opérations. 



Celte équation, posée par M. Darboux, a été résolue dans sa généralité 

 par M. Goursat ('). Plus récemment, elle a été reprise et un peu étendue 

 par M. Enrico Bompiani ('-). Il est remarquable qu'on puisse déduire, des 

 notions introduites par M. Darboux dans cette théorie, une solution directe 

 et complète. 



(') E. GoLiiSAT. Sur les équations linéaires et la méthode de Laplace [American 

 Journal of Mathematics. vol. XVIII, 1896 et Leçons sur l'intégration des équations 

 aux dérivées partielles du second ordre^ l. II, 1898). 



( '-) E, Bompiani, Hendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1" semestre 1912. 



