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obtiendrons i -\- -i équations de la forme 



K X/, 4- 3!, \;, + . . . -h :<, + , Xj+' =r o. 



Le déterminant de ce système n'étant pas nul, il en résulte que 



a = i3ti = . . .= s(/+, = o. 



Autrement dit, l'équation admet une solution de la forme 



;= A\ + A, X' -+-...+ ,\,-X('), 



où Xest une fonction arbitraire de x. Nous voyons même que cette solution 

 ne peut être, par rapport à a-, d'un rang inférienr à i, car si l'on avait 



OÙ X n'est plus la même fonction arbitraire, il est clair que les solutions ;/, 

 seraient liées, contrairement à l'hypothèse, par d'autres relations linéaires. 

 Ce résultat équivaut à dire que : 



La transformation de Laplace conduira, après i opérations exactement, à 

 une équation intégrable. 



11 était bon d'insister sur ce point. M. Goursat donne en elTet (')un 

 exemple d'équations s'intégrant après moins de i opérations et pour les- 

 quelles on peut trouver des groupes de solutions satisfaisant à une relation 

 de la forme (2). Rappelons ce résultat : 



Si une équation de Laplace admet une solution de la forme 



c r^ AX -^ A , X' + . . . -H A,_.,.X'-*. 



Soient t,, v.,, — ^'/,4-i, k ■+- i intégrales ne rentrant pas dans cette forme. 

 L'expression 



.-=-(; r, + ... 4- Ga+i (•/,+, H- A X + A , \' 4- . . . -t- A,-_/,X'-'' 



représente évidemment une solution. Si l'on attribue, à la fonction arl)i- 

 traireX, i+'i valeurs X,, Xo, ..., X,^.o, ainsi qu'aux constantes c,, c.,, ...,(,7,^.,, 

 on aura évidemment i-\- 1 intégrales vérifiant la relation linéaire et homo- 



n^ 



.ri' 



(') Leçons sur l'intégration des équations aux dériv-es partielles du second 

 ordre, l. II, p. 29. 



