55o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Alors on voit sans difficulté que des fonctions convexes, normées, satisfai- 

 sant aux conditions établies, n'existent qu'au cas 



Parmi ces fonctions, il y en a trois qui jouent un rôle spécial dans le 

 théorème qui va être indiqué. Ce sont les fonctions positives, linéaires, 

 normées tp^^, tp^^, ç^.,.^, , qui sont définies par les conditions 



<?^„(o) = 2sinS-„, CB^Xo)=2sinJ,, <B ^, + 3. (o) = 2 sin ' ° ^ ' ■ 



■2 



Voici le théorème annoncé : 



La dislance sphériqite entre deti.r fondions positives, convexes, normées, 

 satisfaisant aux conditions 



cp(o)^2 sinî^o, 9(1)^2 sin/ i- —:?, ) 



est tout au plus égale à 2?, — .^o) ^' cette borne n est atteinte que par les deux 

 fonctions o^ , ^3^ ; la distance sphérique entre une fonction de ladite espèce ei 

 la fonction cp3„+ j, est tout au plus égale à — — ^• 



Ici le mot distance sphérique entre deux fonctions normées ^(a?), '\i{cc) 

 représente comme de coutume le plus petit arc positif S, qui satisfait à 

 l'équation 



'- 



Quant à la démonstration, elle est au fond la même, comme dans les cas 

 particuliers publiés dans la Note citée plus haut. Le théorème consiste en 

 deux parties, et comme la première d'elles n'est qu'une conséquence de la 

 seconde, il suffit de traiter cette dernière. La comparaison des aires 

 des courbes représentant les diverses fonctions, spécialement l'examen des 

 centres de gravité desdites aii'es conduit aux résultats suivants : 



Les fonctions de dislance aussi grande que possible de la fonction 



'-• j^ + s, 

 se trouvent parmi les fonctions o(.r) composées de deux pièces rectilignes 



