SÉANCE DU 23 FÉVRIER 1914. 55l 



et satisfaisant aux équations 



iB(o) = 2 sin.j(|, o{i)^3sin(— — .', 



Il y a de telles fonctions o(deux au moins) qui donnent à l'intégrale 



r' ■ - 



>- 2 



la valeur cos^^^-^ — —^ et aucune qui donne à cette intégrale une valeur plus 



petite. Par là, notre proposition est démontrée. 



L'ensemble des fonctions peut être restreint par d'autres conditions que 

 celles supposées précédemment, par exemple par des conditions concernant 

 les dérivées aux extrémités de l'intervalle fondamental s'(o) et cp'(i). 

 Le théorème suivant peut se ramener au premier : 



La distajice sphérique de deux fonctions positives, convexes, normées, qui 

 satisfont aux conditions 



'^'(o)^2v/3sin( I — &„), !p'(') = 2\ 3sin/^ 



est tout au p tus égale àz^ — '^^,, et cette borne n'est atteinte que par les deux 

 fonctions cp^ , ^^ ; la distance sphérique entre une fonction de ladite espèce 



et la fonction ©^ .^ ^ est tout au plus égale à — — ^'• 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur Vévaluation approximative de la plus 

 petite valeur caractéristique de quelques équations intégrales. Note de 

 M. Ph. Franck, présentée par M. Emile Picard. 



Soit K(5, /) un noyau défini, positif, symétrique. Soient, pour l'intervalle 

 de o à I , )^i, Xo, . . . ses valeurs caractéristiques, toutes positives, suivant la 

 grandeur croissante, et soient cpi(*), 92(*), ••• les fonctions caractéris- 

 li(jues correspondantes. 



En posant 



«- «^0 



(>) J(^)-=/ / M^,t)^{s)^{L)dsdl 



