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Mais ce n'est autre chose que l'évaluation du nombre d'oscillations de la 

 tonique d'une corde, dont la distribution de la densité soit symétrique, 

 du reste arbitraire. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — La Géomélrie intrinsèque et la première 

 proposition fondamentale de Sophus Lie. Note de M. G. Kowalewski, 

 présentée par M. Emile Picard. 



Soient G un groupe de transformations à r paramètres m,, . . ., u,. et 



(I) (v) = (^)S„ 



une transformation de G. 



En regardant (y) comme fixe, le point (a?) vérifie les équations différen- 

 tielles de la première proposition fondamentale de Sophus Lie. On peut 

 écrire ces équations sous la forme abrégée (') 



(2) rf/=iUpXp/, 



ot\ l'on désigne par y^ une fonction arbitraire de a;,, ..., x„. Les sym- 

 boles Xp/ représentent /-transformations infinitésimales indépendantes du 

 groupe G, tandis ([ue les Up sont /• expressions de Pfaff, 



Up=^Spçr(", ,ii,)c/ii„ 



dont le déterminant n'est pas nul. 



A ces expressions de Pfaft' s'attache un théorème important de M. Car Lan, 

 que le « groupe des paramètres », défini par l'équation symbolique 



coïncide avec l'ensemble de toutes les transformations, qui laissent inva- 

 riantes les expressions U,, ..., Lv. 



Soit mainlenanl n = 2, et supposons de plus que le groupe G transforme 

 transitivement les éléments d'ordre /■ — 2 du plan. On peut prendre dans 

 ce cas pour paramètres «, , . . ., u^ les r coordonnées 



{C„) ■ ;, 7,. Y,', ..., r)î'-^' 



(^) Voir LiE-IÎNCEL, t. I, p. -13, et le Mémoire de M. Cartan, dans le /liilletiii 

 des Sciences iiia//irf>mtif/iies, t. \XI\ , 1910, p. aSo. 



