SÉANCE DU 23 FÉA^RIER I914. 555 



d'un élément, qui résulte d'un certain élément initial i*. en effectuant dans 

 le plan la transformation S„. 



Le groupe des paramè Ires exprimera alors comment les éléments d'ordre 

 /' — 2 sont transformés par le groupe G. Car on a 



(E„)S„=(E)S„S«=(E)S,= E,. 

 Les expressions 



fournies par la relation (i), ne sont autre c\\ose (\\xe\Qi coordonnées cova- 

 rianies de M. G. Pick dans sa géométrie intrinsèque (' ) du groupe G. On 

 constate en effet 



= = (7)S„=i>-)S,;Sa= (-tOS.,, 

 c'est-à-dire 



<h,{z,v)=L,(y,ii). 



La formule (2) donnera immédiatement les conditions d'inimohilitè ou 

 d'identité delà géométrie intrinsèque. On n'a qu'à poser 



dn — u'di, dn'—r:'dl, ..., r/o '-- =r,<'--')f/(;. 



Il est impossible que toutes les expressions U s'annulent après ces substi- 

 tutions. Soit par exemple L , 7^ o. En adoptant 



comme élément d'arc, on aura, d'après la formule (2), 

 Les quotients 



sont des constantes ou des invariants différentiels d'ordre ;•— i à cause de 

 l'invariance des expressions L. Ils s'exprimeront donc par un seul inva- 

 riant I et la formule (4) prendra la forme définitive 



(5) ^z^io,p(I)\p/. 



Pour le groupe des mouvements par exemple, elle se réduit à 



(') Voir G. Pick, Natûrtiche Géométrie ebener Transjorinationsgruppen 



(BericUte der Wiener A kade mie. 1906). 



