SÉANCE DU 23 FÉVRIER I9l4- 557 



On montre alors que les nombres k\, v^ doivent satisfaire aux deux 

 équations 



(4) /'(«;- «;•-!) = ', A-A',(^j-Hp.A;._, = o, 



si c'est le membre A'._, , a._,, qui correspond au point le plus voisin de B, 

 sur le côté AB, ce qui donne a!-— a'-_, valeurs de r„. En introduisant la 

 fonction inconnue v — «'o = "C et la variable indépendante u = j^^^ dans 

 l'équation (i), on la ramène à la forme suivante 



(5) » 4^ =? + *(«)-t- ?*"(?■«) 



où ^(C U) est holomorphe en 'Q. Cette équation possède une infinité d'in- 

 tégrales tendant vers zéro, et pourvu que Mo, '(„ soient assez petits en 

 valeur absolue, il y a une intégrale unique de cette équation égale à 'C^ pour 



J'ai abordé récemment la question bien plus difficile analogue pour les 

 systèmes des deux équations 



(6) (iAj«'jî'^.ri^)^ r=i;A(')j,/«i'y^i'>x3(" 

 (:^Aj». ^,,r^) ^ =:2A(^) vf^^r?^^'.rP(^'. 



en cherchant à satisfaire à ces équations par des intégrales de la forme 



(7) y, = i',xV<(\ogicy-,. j,= r.,,r!^=(logj" )'■■... 



où [A,, ijt.2 correspondent à une face déterminée du polyèdre de Puiseux 

 dans R3. Si l'on envisage un des côtés AB de la projection du polygone 

 frontière de la face envisagée sur le plan des a,, a,, on voit que les nombres 

 k,, k., doivent être proportionnels aux cosinus et sinus de l'angle de la nor- 

 male à ce côté avec l'angle des a, . 



Les nombres r", f", vers lesquels tendent les fonctions (^,, v^, doivent tout 

 d'abord satisfaire aux deux conditions suivantes : 



(8) 



I (jL2<'»2Acf'.'f'-iA<^'rf''"rf^\ 



les sommes étant étendues aux membres des équations (6), qui corres- 

 pondent aux points situés sur le côté AB. Cela donne une condition d'exis- 

 tence, car ces deux équations ne sont pas satisfaites en général. 



