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On cherche maintenant la parallèle la plus voisine du côté AB, qui 

 contient des points a,, aj, projections des points situés sur la face considérée 

 du polyèdre. En général^ la distance des deux parallèles donne le facteur de 

 proportionnalité des nombre X,, X.,, qui sont alors rationnels. Puis, l'étude 

 du système d'équations obtenu en transformant le système (G) au moyen de 

 la substitution 



,-,'» = ?„ <',-r«r=Ç„, logx 



il 



permet d'obtenir une seconde condition algébrique que doivent satisfaire 

 v\^ v\^ qui sont ainsi déterminés. 



Il faut alors appliquer la méthode des approximations successives à un 

 système de la forme suivante : 



(9) . '" . ■ 



ce qui, à notre connaissance, n"a pas encore été fait, et qui présente des 

 difficultés très considérables. Mais dans le cas envisagé^ on parvient tout de 

 même à bout, en généralisant les recherches de M. Bendixson (') (et trai- 

 tant tout dans le champ complexe, bien entendu). Si la partie réelle 

 de a -H |î est positive, on a oc' intégrales du système (9), et si la partie réelle 

 est négative, on a ao^ intégrales tendant vers zéro. 



Tout ceci ne se rapporte qu'au cas que l'on peut regarder comme général. 

 La même méthode permet d'établir l'existence, sous des conditions supplé- 

 mentaires, d'intégrales doublement logarithmiques 



(10) »■,= ria-^(loj>'a.')''" ('o« log"i')''"r 72= r2.f^(logj;')''=' (log loga-)*... 



11 faudrait ensuite étudier les cas de nombres p. et k irrationnels. 



Tout ce qui a été fait jusqu'ici pour l'étude du système (6) ne peut être 

 regardé que comme une première étape. Il faudrait maintenant approfondir 

 cette étude en employant des considérations analogues à celles que M. Dulac 

 a appliquées avec tant de succès à l'étude d'une équation unique (i). 



(') Voir l'exposition des reclierches de M. Bendixson el les recherches antérieures 

 de M. Poincaré et de M. Picard dans le Traité d'Analyse de M. J'icard. 



