6l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Supposons donc que l'indicatrice (B) admette œOy comme plan de 

 symétrie et même que la projection de (B) sur xOy soit unicursale, auquel 

 cas (B) sera une courbe de type hyperelliptique (accidentellement unicur- 

 sale). Supposons encore xOz plan de symétrie. Il suffit, nous le savons, 

 d'étudier les trois intégrales 



fcC, fc-'cUc^iC), Jc'éic-œ'), 



dont la première porte sur une fraction rationnelle, tandis que les deux 

 dernières se ramènent à l'une d'entre elles. Supposons même que le 

 cône (C) n'ait que deux génératrices isotropes, nous serons dans le cas le 

 plus favorable : j'ai trouvé des courbes de cette espèce, réelles, de genre et 

 de degré arbitraires; j'en donne plus bas un exemple. 



3. Dans cette question et bien d'autres, j'ai employé la remarque 

 classique suivante : la rechercbe d'une courbe réelle étant supposée ramenée 

 à la recherche des solutions réelles de m équations algébriques à coef- 

 ficients réels entre m + k inconnues 



(E) X,-(X,,>.,, ...,?,,„ i , a,, fZj, ..., fiA.) = '' (('=1,2, m), 



si l'on sait que pour un système de valeurs réelles ij.", p.", ..., ^j-l des ui 

 le système (E) a une solution réelle A", ...,X^, ceci prouve: i" que le 

 système E n'est pas incompatible, qu'il a une infinité de solutions dépen- 

 dant de k arbitraires; 2° qu'il a une infinité de solutioiië réelles, si toute- 

 fois le déterminant fonctionnel |^„" . J' " ' " '.'," n'est pas nul; cette 



solution pourra être représentée par des développements en série suivant 

 les puissances de tx, — a", u-o — u.", . . . , p-A — [t-l- 



4. Soit donc : 



A(f'i'-hB<j''i'-hCq^P-hDq-i'-\-EqP-{-F 

 c -t- tc'= — ^ —. — > 



gnp-r 



A.-hBr/P -hCq-P + Dq^P-i-Eq-P-i-Fq'P 



c — ic ^ — j 



9 



„_ {q''P + aq^P -i- hq''-P+ aqP+ i) \j — KF {q'^P -^ \i.qP -^ \) 

 ^ — 3,. ' 



p el r sont des entiers positifs premiers entre eux, r'S—; A, B, C, D, E, F, 



