SÉANCE DU 2 MARS I9l4- 6*7 



OÙ a' et ^' désignent les cosinus directeurs de la normale a Félément ds' du 

 contour; et dans les termes accentués, x et y doivent être remplacés par ;, yj. 

 C'est bien une équation de Fredholni et elle aura toujours une solution, 

 sauf en cas de résonance avec une oscillation propre du bassin considéré. 



11 faut encore s'assurer que cette solution vérifie bien l'équation (i), c'est- 

 à-dire qu'on peut remonter de (P) à (a) et de (a) à (i). 



Il suffit pour cela de montrer que la fonction u tirée de (p) a des dérivées 

 du premier ordre finies dans D et C, et des dérivées du second ordre 

 dans D. 



Remarquons que le noyau dans l'intégrale double de (P) devient infini 



comme - et celui de n'utée-rale infini comme log -• 



En itérant le noyau, u satisfera à une nouvelle relation qui contiendra 

 une intégrale quadruple, deux intégrales triples et une intégrale double; et 

 des termes tout connus de la forme 



On voit immédiatement que les dérivées premières de toutes les inté- 

 grales contenant la fonction inconnue restent finies, par application de 

 l'inégalité de Schwarz. 



Quant aux termes connus de la forme indiquée, le premier peut s'écrire 



et l'intégrale double a des dérivées premières finies même sur le bord C et 

 des dérivées secondes à l'intérieur de D si -p a des dérivées secondes : or 

 cette dernière condition est remplie, puisque nous avons supposé l'existence 

 des dérivées premières de f. L'intégrale de ligne est assimilable à un 

 potentiel logarithmique de densité '\i : elle a donc des dérivées comme la 

 précédente. 



Enfin .p, lui-même, a des dérivées jusqu'au second ordre, comme nous 

 venons de le voir. 



Donc la fonction u tirée de (^) a des dérivées premières dans D et sur C. 



Je dis qu'elle a des dérivées secondes dans D. En effet, chaque intégrale 

 provenant de ritération du noyau est assimilable à un potentiel logarith- 

 mique de densité u. Et nous venons d'établir l'existence des dérivées 

 secondes pour tous les termes ne contenant pas u. 



