SÉANCE DU 2 MARS 1914. 619 



II reste à démontrer que les ensembles A et B sont sans points communs. 



Or, l'opération (i) étant une multiplication pour le nombre e', et l'opé- 

 ration (2) une addition de l'unité, on voit sans peine cpie tout point de E 

 est un polynôme en é aux coefficients entiers. De plus, son terme constant 

 est nul s'il appartient à A, positif s'il appartient à B. S'il y avait donc un 

 point commun aux ensembles A et B, nous aurions une équation algébrique 

 en e' aux coefficients entiers, non identique, ce qui est impossible, e' étant 

 un nombre transcendant. c. q. f. d. 



Ajoutons qu'on pourrait aisément décomposer l'ensemble E en une infi- 

 nité dénombrable d'ensembles sans points communs deux à deux, dont 

 cliacun est superposable avec E. Une telle décomposition est fournie par 

 exemple par l'expression 



E = R(E) + FR(E) + F2R(E) -(-.... 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — F<ur une généralisation d'un problême de 

 Tchèhischcff el de Zololarejjf. INote de M. A. PciiËBOitsKi, présentée par 

 M. Emile Picard. 



Dans leurs recherches sur les polynômes qui s'écartent le moins possible 

 de zéro dans un intervalle fermé (r/, h), TchébischefTetZolotaren" ont étudié 

 le problème suivant : «r étant un nombre réel donné, trouver un polynôme 



f{x) — X" — (7a-"-i + /),.r" -- -f- ... + />„, 



du degré n qui s'écarte le moins possible de zéro dans l'intervalle fer- 

 mé {— I , H- l). 



Tchébischeff en donna la solution pour a := o et ZolotarelT pour le cas 

 de (j quelconque. 



Je me propose ici de généraliser un peu le problème énoncé en me posant 

 la question suivante : Trouver un polynôme fÇx) du degré n qui s'écarte le 

 moins possible de zéro dans l'intervalle fer/né (a, b) et qui satisfait aux con- 

 ditions f^'^'(z) = <j,f">(z) = t; :;, a, T sont des nombres réels donnés. 



Il est aisé de démontrer l'existence des polynômes cherchés que nous 

 nommerons pour abréger les polynômes (T). 



Nous supposons toujours que k^i. Soit Ly le plus grand écart de /(a-) 

 dans l'intervalle fermé (a, b) et p le nombre des racines distinctes de 



l'équation 



L} — /'-{x)=o, 



