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contenues dans Fintervalle fermé (a, h); nous avons alors le théorème 

 suivant : 



TiiÉOKKiME. — Si f{x) est un polynôme (T) du degré n dans V intervalle 

 fermé (rt, 6), le nombre p ne peut être moindre que n dans deux cas : 

 1° Celui quand on a k ^^ i -\- i\ 2° celui quand z n' appartient pas à V inter- 

 valle (a, b)\ dans tous les autres cas le nombre p ne peut être moindre que le 

 plus grand des nombres k et n — i — i . 



La démonstration de ce théorème est basée sur les résultats que j'ai eu 

 Thonneur de présenter à l'Académie dans ma Note Sur quelques polynômes 

 qui s'écartent le moins possible dans un intervalle donné ( ' ). 



Dans ma démonstration, je me sers encore d'un théorème d'Algèbre qui 

 me paraît nouveau; voici ce théorème : 



Si dans l'équation Ai^x^ -h A, a;'''' + . . . + Ap= o aux coefficients réels 

 il existe entre quatre coefficients quelconques A,, A,_,, A^, A^., une rela- 

 tion A; Aa_, — A;i A,_, = o, l'équation considérée ne peut avoir toutes ses 

 racines d'un même signe. 



Il me paraît intéressant de donner un exemple simple pour le cas où :; 

 appartient à l'intervalle (a, b') et le nombre p est moindre que n. 

 Voici cet exemple : 



Si l'on a ij'^ o, T <Co, et si, en désignant par "k le nombre positif if — r— » 

 les nombres «, b satisfont aux conditions 



(•) 





le polynôme 



— X* + ff.i'^4- o,5o-AA'+ TX — o,2;jo-/^ 



A 



est un polynôme (T) qui s'' écarte le moins possible de zéro pour p = 3 valeurs 

 de X, précisément pour X = — X, X, 3 À. 



On satisfait aux conditions (i) en prenant a assez voisin de —'keib 

 assez voisin de 3 A. 



Si les nombres («, b) ne satisfont pas aux conditions (i), le polynôme 



(') Comptes rendus, t. 150, p. 53 1 . 



