SÉANCE DU 9 MARS I9l4- 677 



qu'une telle transformation permet de rendre linéaire; voici d'autres 

 exemples plus importants. 



Considérons un système en involution dedeux équations du second ordre 

 linéaires; on peut toujours l'écrire sous la forme 



[ r H- u{j\y, z,j>, (f)s+ A(^, j, :,p, (/) = o, 



r + »(x,A/.,y) +B(x,j,.,/,,./)=o, 



les fonctions u, A, B et leurs dérivées vérifiant deux relations particu- 

 lières (') : dans ces conditions seulement le système (i) ne se ramène pas 

 à un système d'équations différentielles ordinaires. 



On peut se proposer de transformer ce système en une équation iinù/iir 

 du premier ordre, en posant 



(2) :'=<p(x.j, c,/>, r/). />'=a(x,v, :,/>,./), q' = b{.r,y, z, p, (/). 



En effet, cette transformation ne s'applique qu'aux intégrales du système 



(3) 



do do d'il d(t> 



, , do do do do 



b{j:, )\z.,p,q) = -^ -i- q-f- -H s -^ + ' X"' 

 ' ' ' ' Ov dz dp dq 



et ce système coïncidera avec le proposé si Ton a 



do do do d'3 .do , do <^9 d <^? 



^ ' àq ôp dx dz dp oy dz d(i 



On voit que a et è sont entièrement déterminés quand on connaît la 



fonction o; il faudra choisir celle-ci de manière à avoir V- = "-r"! en outre, 

 1 ' aq dp 



pour obtenir le résultat voulu, il faudra qu'on puisse éliminer :;, yo, </ entre les 

 équations (2), c est-a-dire que ^rf: r = o. 



Le calcul montre que cette dernière équation se décompose en deux si 

 l'on tient compte des relations existant entre «, A, B. De sorte que, en 



prenant pour inconnue auxiliaire \ = -^•. -^, cette quantité doit satisfaire 



(') GoiTRSAT, Leçons sur l'inlcgralion des équations aux dérnces partielles du 

 second ordi e. t. II. p. 66. 



