SÉANCE DU 9 MARS I9l4- 679 



avec 



I + «- + ip + uq)-= o. 



Nous sommes dans le cas parliculier (7 ) ; on peul poser ici 



z'= ii{p,q), 



P'=u ^^ + ^" „ (■+/>- + ?-). ,' = - P-^''' A ^+P'- + f), 



^ u -\- pq + iiq- ' ' ' Il + pq + iiq- ' 



et les surfaces transformées sont intégrales de l'équation 



(S') _ r'+q'z.'=0. 



A toute surface (S) correspond une surface (S'), mais à chaque surface (S') corres- 

 pondent une infinité de surfaces (S) dépendant d'une constante arbitraire : /j et 17 

 sont seuls déterminés. 



Dans cet exemple, comme dans le suivant, on voit facilement la correspondance des 

 caractéristiques. 



Exemple 11. — On peut même ramener, dans certains cas, une équation du second 

 ordre à une équation du premier ordre contenant une fonction arbitraire. Soil 



(S) r — qs-i-pl^o. 



Si l'on appelle m une racine de l'équation caractéristique ni- -+- qm + /) =: o, l'équa- 

 tion (S) admet l'intégrale intermédiaire < -t- i-'|(/«) = o, '| étant une fonction arbi- 

 traire ('). 



Le système 



/• -+- ms — /) '|( /« ) = o, 



t -{ h 'h{ni) = o 



est donc en involution, quelle que soil la fonction ']>, et l'on est encore dans le cas (7). 



On peut poser, par exemple, 



, , V , /"■!>('") , ni'\/{m) 



z'=: ni(p,q), p' = —f—i- , ^'= — -^ , 



' ^ ' ini -\- q ' 2 m -{- q 



et l'élimination donne l'équation transformée 



(S') p'+q'z'-z''!^(z')=zo. 



A toute intégrale de (S') correspondent une infinité d'intégrales de (S), données par 

 la transformation inverse 



q' q' 



On voit que ré(|uation (S) peut jouer, par rapport à (S), un rôle tout à fait ana- 

 logue à celui d'une intégrale intermédiaire du premier ordre, malgré que cette équa- 

 tion (S) n'admette pas de pareille intégrale. 



(') GOURSAT, loc. ci/., p. 125. 



