68o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Un théorème général siir Ic problème des n corps. 



Note de M. G. Armellixi. 



1. Théorème. — Considérons le mouvemeiil de n points qui s^atlirent selon 

 la Loi de Newto/i. Supposons qu'on sache d'avance que tous les chocs soient 

 simples, c'' est-à-dire que deux corps seulement puissent se choquer dans un 

 même instant. Supposons aussi quon sache quer le temps compris entre deux 

 chocs consécutifs demeure toujours supérieur à une certaine quantité. Je 

 dis quon peut choisir une variable indépendante T d'une façon telle que les 

 3n coordonnées et le temps soient des fonctions de T., holomorphes et réelles 

 aux environs de l'axe réel. On saura alors., à l'aide de méthodes bien connues, 

 représenter le mouvement pour tous les temps, quels que soient d'ailleurs les chocs 

 qui vont se produire. Le problème est donc résolu au point de vue analytique. 



2. Appelons m^, mo, . . ., m,, les niasses des n points et r,,/ la distance de 

 m^ à m/. Appelons aussi R une fraction dont le numérateur est le produit 



des n distances, et dont le dénominateur est égal à leur somme élevée 



a la puissance n 



'12 '13 • ■ • ''l« ''-23 • • • '"-2;/ • • • ''/( — !,/? 



(I) R: 



I '"12+ '"13 H- • ■ •+ '■!»+- '■23+. . .+ /■2« + - . .+ /■„-,,,, ! 



Prenons une nouvelle variable T en posant 



Je dis qu'à chaque valeur finie et réelle t, de / correspond une valeur aussi 

 réelle et finie T, de ï. Pour le démontrer, faisons varier t, en passant tou- 

 jours par des valeurs réelles, de t = o jusqu'à t = t,; notre assertion est 

 évidente si dans cet intervalle il n'y a pas de chocs. Dans le cas contraire, 

 appelons t l'instant où a lieu le premier choc. A cause de nos hypothèses 

 dans l'instant t, une seulement des distances, par exemple r/,/, pourra s'an- 

 nuler. On pourra alors démontrer : 



I. Que la vitesse angulaire du rayon vecteur /•/,/ demeure finie lorsque t 

 tend vers t; 



