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OÙ nous avons écrit, pour simplifier, r à la place de t-^/. 



A l'aide des théorèmes des forces vives et du centre de gravité, on 

 parviendra aisément au système suivant : 



^=^'L, + (£H'4-W+ÇÇ')M„ 



(8) ;^ = r/, :i^=,jL + K„ !^=-VL,+ (tï' + rrri'+ÇOM,, 



^=Ç'L3+(Ht'+r;r/+çr)M3, 



où K/, L,-, M,- sont des fonctions développables selon les puissances de 

 H, •/], '(, .... On pourra voir, sans difficulté, que l'on a, pour S = o, 



(9) i = vî = ç = r=-o'=ç'=o. 



et que X, ij., v tendent vers des valeurs finies. Les équations (8) nous montrent 

 alors que les neuf quantités l, y], '(, ^', y]', '(', X, [j., v sont des fonctions 

 holomorphes de & aux environs de j = o. On démontrera aussi sans diffi- 

 culté que les coordonnées des autres points, qui ne se choquent pas dans 

 l'instant ;,, jouissent de la même propriété. Et alors les équations (2) et(6) 

 nous montrent que les 3/i coordonnées et les temps / sont développables en 

 séries convergentes selon les puissances de T — T,. Faisons alors varier T 

 de o jusqu'à 00; t variera aussi de o jusqu'à ce. Nous pourrons donc, en 

 employant la méthode de l'étoile de M. Mitlag-Leffler, représenter le 

 mouvement dans toute sa durée par des développements de forme 

 connue. c. u. f. n. 



4. Cas particuliers. — a. Le problème des trois corps dans le cas où le 

 moment de la quantité de mouvement du système n 'est pas nul. — Cette 

 condition, en eirel, est dans ce cas suffisante (pas nécessaire) pour l'accom- 

 plissement de nos deux conditions. M. Sundman('), toutefois, a obtenu 

 l'holomorphisme non seulement aux environs de l'axe réel, mais aussi dans 

 une bande de largeur constante. 



^. Le problême de mouvement d'un point attire par plusieurs centres fixes .^ 

 dont j'ai donné la solution dans un Mémoire qui paraîtra prochainement. 

 Dans le cas où les centres fixes appartiennent à une même droite, il n'y a 

 plus besoin d'aucune variable auxiliaire; on peut alors, comme M. Volterra 



(') SuNDMANN, Acta math., l. XXXVI. 



